Дисперсия. Её математические свойства и способы расчёта.

1. Дисперсия признака обладает рядом математических свойств, которые упрощают технику её расчёта. Если все значения признака уменьшить или увеличится на постоянную величину A, то дисперсия не изменится

2. Если все значения признака увеличить/уменьшить в А раз, то величина дисперсии увеличится/уменьшится в А² раз.

3. В мат. Статистике доказано, что для величины А выполняется равенство т.е. средний квадрат отклонений признака X от произвольной величины А

Свойство минимальности дисперсии. Дисперсия от средней арифметической величины всегда меньше дисперсии, исчисленной от любой другой величины А, причём эта разница равна Дисперсия признака X равна среднему квадрату значений признака минус квадрат среднего значения признака.

Для упрощения расчёта дисперсии признака в интервальном ряду распределения с равными интервалами, используется «способ моментов»

… Варианты признака А заменяются условными значениями признака x по формуле h – ширина интервала.A – середина центрального интервала, обладающего наибольшей частотой

2 этап. Рассчитывается дисперсия условий X’ =m2-m1

Квадрат моментов первого порядка

3 этап. Рассчитывается исходной величины Х по формуле

Дисперсия альтернативного признака

Альтернативным называется признак, в котором единицы изучаемой совокупности могут либо обладать, либо не обладать. Наличие признака у единицы совокупности обозначим цифрой 1, а его отсутствие – цифрой 0. P - Долю единиц, обладающих признаком в общей численности всей совокупности, а через q – долю единиц, не обладающих признаком. P+q = 1

Определим среднюю арифметическую величину и дисперсию альтернативного признака.

Среднее значение альтернативного признака равно доле единиц, обладающих признаком

Дисперсия равна произведению доли единиц обладающих на число, дополняющее эту долю до единицы.

Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в анализе взаимосвязей между явлениями.

На вариацию какого-нибудь результативного признака оказывают влияние различные факторы.

Если произвести группировку совокупности по какому-либо факторному признаку, то можно выделить 3 вида дисперсии результативного признака.

Общая дисперсия Характеризует вариацию результативного признака по всей совокупности явлений под влиянием всех факторов

Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает вариацию результативного признака под влиянием всех факторных признаков, за исключением факторного признака, положенного в основу группировку

Ni –веса численности x

Межгрупповая дисперсия. Характеризует вариацию результативного признака, обусловленную влиянием только группировочного факторного признака.

В математической статистике доказано, что между этими 3мя видами дисперсий существует тесная связь, которая получила название «Правило сложения дисперсий»

Для оценки степени влияния группировочного факторного признака на результативный признак, рассчитываются следующие показатели:

1. Эмпирический коэффициент детерминации

Обусловлен вариацией группировочного признака.

2. Эмпирический корреляционный коэффициент. Характеризует тесноту связи между результативным и группировочным признаком. Если при изучении квалификации работников на их заработную плату было получено. Это означает, что 64% вариации заработной платы зависит от их квалификации. Остальные 36% обусловлены влиянием других признаков. Корреляционный коэффициент 0.8 показывает, что связь фактора и зарплаты сильная.