4. Скин-эффект

Если имеется прямой провод с постоянным током, то, как известно, ток равномерно распределяется по сечению провода. Но оказывается, что для переменного тока это уже не так. Расчеты показывают, что при больших частотах практически ток протекает в тонком поверхностном слое провода, откуда и происходит название этого явления — скин-эффект.

Для высокопроводящих материалов толщина скин-слоя оказывается очень малой. Если она мала по сравнению с радиусом провода, то расчеты, выполненные для цилиндрического провода, незначительно отличаются от расчетов скин-эффекта в проводящем полупространстве. Рассмотрим поэтому именно эту более простую задачу.

Рис. 4.2

Пусть однородная проводящая среда занимает полупространство z>0, обладает электропроводимостью , проницаемостями , и граничит с вакуумом (рис. 4.2). Запишем уравнения Максвелла в квазистационарном приближении внутри проводника

(4.1) (4.1)

Дифференцируя по t уравнение (4.1а), находим

откуда

(4.2)

Аналогичное уравнение получается и для напряженности магнитного поля:

(4.3)

На основании закона сохранения энергии, очевидно, что квазистационарное поле в области z>0 может существовать долгое время только при условии, что на границе области z=0 поддерживается некоторое внешнее поле (в случае задачи о проводнике это соответствует заданию внешнего напряжения, приложенного к проводу), необходим подвод энергии извне, т.к. внутри проводника энергия только поглощается. В частности, если на границе задано периодическое электрическое поле с напряженностью направленное по оси X, то решение задачи следует искать в виде Тогда из условия divE = 0 выводим, что Е/x=0, т. е. вектор электрического поля Е зависит только от переменных t, y и z. Но так как нас интересует задача о распределении плотности тока в цилиндрическом проводнике, которую мы упростили, то зависимость от y можно не рассматривать, имея в виду лишь азимутально-симметричные решения.

Поэтому полагаем и запишем выражение (4.2) в виде

(4.4)

Решение уравнения (4.4) очевидно:

(4.5)

Отбрасывая нарастающее в глубь проводника поле как физически неосуществимое, выбираем решения с Re<0, т. е.

Таким образом, напряженность электрического поля в проводнике изменяется по закону

(4.6)

Как видно, электрическое поле экспоненциально затухает в глубь проводника. При этом роль эффективной глубины проникновения поля в проводник играет параметр , называемый толщиной скин-слоя и определяемый формулой (4.5). Числовые оценки, выполненные для меди (=1,  = 5-10¹⁷с^-1) при частоте 50 Гц, показывают, что см. Поэтому в проводниках обычных сечений скин-эффект проявляется лишь при гораздо большей частоте. При 5000 Гц , см, При Гц, см.

Диамагнитный эффект.

Внешнее магнитное поле в соответствии с законом электромагнитной индукции (правило Ленца) при включении создает в веществе такой индукционный ток, магнитное поле которого направлено против внешнего магнитного поля. При этом магнитный момент, создаваемый внешним полем, будет направлен противоположно внешнему полю.

Для оценки индуцированного магнитного момента атома рассмотрим электрон, вращающийся по круговой орбите L с радиусом R в плоскости x,y . Начало координат совмещено с центром орбиты.

Пусть в некоторый момент времени включается и нарастает в течение определенного промежутка времени однородное магнитное поле B_z=B. При этом возникает индуцированное электрическое поле E. Среднее значение составляющей электрического поля, касательной к орбите, определяется по формуле

. (23)

Используя закон электромагнитной индукции в интегральной форме, получим

. (24)

Используя (23), находим

. (25)

Со стороны поля к электрону приложен момент силы M=(0,0,M). Имеем

. (26)

Используя закон изменения момента импульса, получим

. (27)

Интегрируя соотношение (27) по времени нарастания магнитного поля, находим

(28)

Формула (28) и определяет дополнительный момент импульса, который получает электрон под действием магнитного поля.

Найдем связь между магнитным моментом и моментом импульса электрона в классической механике. Магнитный момент определяется по формуле

(29)

В формуле (29) I_т–сила тока, S=R², n–единичный вектор, перпендикулярный к плоскости контура с током (создаваемым электроном). Направление n образует правовинтовую систему с направлением тока (направление тока противоположно направлению движения электрона). Сила тока определяется, очевидно, по формуле

, (30)

где –угловая скорость электрона. Электрон имеет момент импульса

L=(0, 0, m_eR²). (31)

Используя соотношения (29) – (31), получим

.

Учитывая противоположные направления векторов  и L, находим

. (32)

Соотношение (32) соответствует формуле квантовой теории (4) при g=1.

Используя формулы (28), (32), находим дополнительный магнитный момент

, (33)

который сообщается электрону под действием магнитного поля.

Далее попытаемся скорректировать формулу (22) с учетом квантовомеханических представлений о движении электрона в атоме. По квантовым законам движения можно говорить только о вероятности пребывания электрона в той или иной области атома. По этой причине величину R² в формуле (33) следует, вероятно, заменить средним значением этой величины. Имеем

. (34)

Будем предполагать, что атом является сферически симметричным. В этом случае

(35)

Здесь r– расстояние от ядра атома до электрона.

Далее из формулы (35) находим

(36)

Следовательно, с учетом квантовомеханических представлений соотношение (33) принимает вид

. (37)

Допустим, что магнетик однороден, состоит из атомов, причем в атоме содержится Z электронов. Тогда суммарный индуцированный магнитный момент будет определяться по формуле

. (38)

Здесь n–концентрация атомов.

Интересно отметить, что точное квантовомеханическое рассмотрение приводит к той же формуле (38). Разумеется, полученное соотношение применимо к магнетикам, в которых при рассмотрении намагниченности можно пренебречь взаимодействием атомов.

Как и следовало ожидать, вектор диамагнитного намагничения направлен против внешнего поля и линейно зависит от него. Согласно (38), вектор намагничения не зависит от температуры магнетика. Данное свойство является характерным именно для диамагнетиков. Отметим еще раз, что диамагнетизм является слабым эффектом. Ясно, что диамагнетизм присущ всем магнетикам. Однако диамагнетизм непосредственно наблюдается в тех случаях, когда атомы и молекулы при B=0 не обладают собственным магнитным моментом. В других случаях диамагнетизм «маскируется» обычно более сильным парамагнетизмом.

Последовательное описание намагничения в рамках только классической физики принципиально невозможно. По теореме Бора – Ван Левен в стационарном состоянии магнитный момент вещества, обусловленный движением электрических зарядов в магнитном поле по законам классической физики, равен нулю. Иногда данную теорему формулируют так: в классической теории нет ни парамагнетизма, ни диамагнетизма.