Error: Reference source not found

Статистика Ферми-Дирака применительно к электронам в металлах

Принцип Паули – в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона. Это означает, что между свободными электронами существует какое-то взаимодействие, однако оно не является силовым. Это чисто квантовый эффект. Установлено, что для среднего числа электронов, приходящихся на одно квантовое состояние, получается следующее выражение

, (1)

где - кинетическая энергия электрона в рассматриваемом квантовом состоянии, постоянная (химический потенциал электрона). При конкретных применениях (1) необходимо знать число квантовых состояний, в которых может находиться электрон.

Шестимерное фазовое пространство электрона:

Объем фазового пространства

(2)

Он разбивается на ячейки с фазовым объемом ( эрг с) каждая.

Число ячеек

.

В одной ячейке могут помещаться два электрона с противоположно направленными спинами. Пусть V=1. Тогда число квантовых состояний :

(3)

Вырожденный электронный газ

;

(4)

.

Число квантовых состояний можно выразить через энергию, используя формулу

. (5)

Получим

.

(6)

При заполнены все квантовые состояния вплоть до состояния с энергией . Другое название величины - энергия Ферми. Отсюда число электронов в единице объема

(7)

Полная энергия электронного газа равна

. (8)

Средняя энергия, приходящаяся на один электрон

. (9)

Тепловая энергия электронов имеет порядок . Температура вырождения определяется по формуле

. (10)

Электронный газ считается вырожденным, если

.

Для меди , что много выше температуры плавления. При обычных условиях электроны проводимости всех металлов находятся в состоянии сильного вырождения.

При обычных температурах почти все квантовые состояния ниже границы Ферми заполнены электронами, как и при абсолютном нуле температуры. Исключение составляют квантовые состояния вблизи самой границы Ферми. Электроны , находящиеся вблизи границы Ферми, непрерывно пересекают границу Ферми в прямом и обратном направлении. Только такие электроны участвуют в тепловом движении. Ими , в частности, обусловлена теплоемкость электронного газа в металлах. Перенос тепла в металлах осуществляется только электронами вблизи границы Ферми, средняя кинетическая энергия которых

. (11)

Концентрацию и кинетическую энергию электронного газа можно выразить через энергию Ферми. Выполняются соотношения

, (12)

. (13)

В этих интегралах интегрирование проводится по всем значениям энергии .

Возможно точное вычисление этих интегралов, но оно довольно громоздко.

Приближенный расчет – средняя энергия, приходящаяся на один электрон, равна

. (14)

Отсюда находим теплоемкость, отнесенную к одному электрону

. (15)