2. Координаты точки

Координату х называют абсциссой, у — ординатой и z — аппликатой. Абсциссах определяет расстояние от данной точки до плоскости W, ордината у — до плоскости V и аппликата z - до плоскости H. Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во всех восьми октантах. Какая-либо точка пространства А, заданная координатами, будет обозначаться так: A (х, у, z). Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет следующий вид А (5, 4, 6). Этаточка А, все координаты которой положительны, находится в первом октанте. Координаты точки А являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора ОА по отношению к началу координат. Если i, j, k — единичные векторы, направленные соответственно вдоль координатных осей х, у, z (рисунок), то

ОА = ОAxi+ОАyj + ОАzk ,где ОАХ,

ОАУ, ОАг — координаты вектора ОА

3. Две и три проекции точки

Построение проекций некоторой точки А, расположенной в I октанте, на три взаимно перпендикулярные плоскости p1, p2, p3 показано на рис. 2.27. Используя совмещение плоскостей проекций с плоскостью p 2 и применяя способ вращения плоскостей, получаем комплексный чертеж точки А (рис. 2.28):

АА1 ^ p1; АА 2 ^ p2; АА 3 ^ p3, где А3 – профильная проекция точки А; АХ, Аy, АZ – осевые проекции точки А. Проекции А1, А2, А3 называются соответственно фронтальной, горизонтальной и профильной проекцией точки А.

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси x, y, z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат: ось Х называется осью абцисс, ось y – осью ординат, ось Z – осью аппликат, точка пересечения осей, обозначаемая буквой О, есть начало координат. Так, зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Для получения комплексного чертежа применим способ вращения плоскостей p1 и p3 (как показано на рис. 2.27) до совмещения с плоскостью p2. Окончательный вид всех плоскостей в первом октанте приведен на рис. 2.29.

Здесь оси Оx и Оz, лежащие в неподвижной плоскости p2, изображены только один раз, ось Оy показана дважды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью p1, ось y на эпюре совмещается с осью Оz, а вращаясь с плоскостью p3, эта же ось совмещается с осью Оx.

Рассмотрим рис. 2.30, где точка пространства А, задана координатами (5,4,6). Эти координаты положительны, и сама она находится в первом октанте. Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели осуществляется с помощью координатного прямоугольного параллелограмма. Для этого на осях координат откладываем отрезки, соответственно отрезкам длины: ОАх = 5, OАy = 4, OАz = 6. На этих отрезках (ОАx, ОАy, ОАz), как на ребрах, строим прямоугольный параллелепипед. Одна из его вершин будет определять заданную точку А.

Говоря о системе трех плоскостей проекций на комплексном чертеже (рис. 2.30), необходимо отметить следующее.

Первое

две проекции точки принадлежат одной линии связи;

две проекции точки определяют положение третьей ее проекции;

линии связи перпендикулярны соответствующей оси проекций.

Второе

Любая точка пространства задается координатами. По знакам координат можно определить октант, в котором находится заданная точка. Для этого воспользуемся табл. 2.3, в которой рассмотрены знаки координат в 1–4 октантах (5–8 октанты не представлены, они имеют отрицательное значение х, а y и z повторяются).

Горизонтальная и фронтальная проекции точки располагаются на линии проекционной связи, перпендикулярной оси x, фронтальная и профильная проекции – на линии проекционной связи, перпендикулярной к оси z.

А1АХ = А3АZ = АА2 – расстояние от А до p2

А2АХ = А3Аy = АА1 – расстояние от А до p1

А1Аy = А2АZ = АА3 – расстояние от А до p3

Расстояние точки от плоскости проекций измеряются аналогично отрезкам на эпюре (рис. 2.32).

4. Задание прямой линии

1) Двумя точками (А и В).

2. Двумя плоскостями (a; b).

Этот способ задания определяется тем что две непараллельные плоскости пересекаются в пространстве по прямой линии (этот способ подробно рассматривается в курсе элементарной геометрии).

3. Двумя проекциями.

4. Точкой и углами наклона к плоскостям проекций.

5. Прямая общего положения

Прямые по их положению относительно плоскостей проекций делят на прямые общего и частного положений.

Прямая общего положения Прямой общего положения (рис.2.2) называют прямую, не параллельную ни одной из данных плоскостей проекций. Любой отрезок такой прямой проецируется в данной системе плоскостей проекций искаженно. Искаженно проецируются и углы наклона этой прямой к плоскостям проекций.

6. прямые частного положения

Прямые частного положения

К прямым частного положения относятся прямые, параллельные одной или двум плоскостям проекций.

Любую линию (прямую или кривую), параллельную плоскости проекций, называют линией уровня. В инженерной графике различают три основные линии уровня: горизонталь, фронталь и профильную линии. Горизонталью называют любую линию, параллельную горизонтальной плоскости проекций (рис.2.З-а). Фронтальная проекция горизонтали всегда перпендикулярна линиям связи. Любой отрезок горизонтали на горизонтальную плоскость проекций проецируется в истинную величину. В истинную величину проецируется на эту плоскость и угол наклона горизонтали (прямой) к фронтальной плоскости проекций. В качестве примера на рис.2.З-а дано наглядное изображение и комплексный чертеж горизонтали h, наклоненной к плоскости П2 под углом b .

Фронталью называют линию, параллельную фронтальной плоскости проекций (рис.2.3-б). Горизонтальная проекция фронтали всегда перпендикулярна линиям связи. Любой отрезок фронтали на фронтальную плоскость проекций проецируется в истинную величину. В истинную величину проецируется на эту плоскость и угол наклона фронтали (прямой) к горизонтальной плоскости проекций (угол a ).

Профильной линией называют линию, параллельную профильной плоскости проекций (рис.2.З-в). Горизонтальная и фронтальная проекции профильной линии параллельны линиям связи этих проекций. Любой отрезок профильной линии (прямой) проецируется на профильную плоскость в истинную величину. На эту же плоскость проецируются в истинную величину и углы наклона профильной прямой к плоскостям проекций П1 и П2. При задании профильной прямой на комплексном чертеже нужно обязательно указать две точки этой прямой.

Прямые уровня, параллельные двум плоскостям проекций, будут перпендикулярны третьей плоскости проекций. Такие прямые называют проецирующими. Различают три основные проецирующие прямые: горизонтально, фронтально и профильно проецирующие прямые.

Горизонтально проецирующие прямые aV; aW; aH; a2z; a3z; a1 - точка.

Фронтально проецирующие прямые bH; bW; bV; b1y; b3y; b2 - точка.

Профильно проецирующие прямые cH; cV; cW; c1x; c2x; c3 - точка.

Прямые, принадлежащие плоскости проекции.