7. Циклические поверхности.

Циклическая поверхность образуется при движении окружности постоянного или переменного радиуса.

Каркас циклической поверхности состоит из набора окружностей.

Геометрические элементы, определяющие окружность:

• 3 точки

• плоскость, центр и величина радиуса

• две точки и прямая, расположенные в одной плоскости, при условии, что эта прямая и центр окружности инцидентны

• три касательные

• сфера и пересекающая ее плоскость

• вектор, начало которого совпадает с центром окружности, направление перпендикулярно плоскости окружности, а модуль равен радиусу.

Способы конструирования циклических поверхностей:

I способ.

Геометрическая часть: 1) три направляющие; 2) плоскость параллелизма.

Алгоритмическая: 1) находим точки пересечения направляющих с плоскостью a`, которая // a, 2) строим окружность, определяемую тремя найденными точками, 3) переходим к следующей плоскости, параллельной предыдущим, и повторяем вышеописанные действия.

II способ.

Геометрическая часть: 1) две линии, из которых одна является линией центров, 2) ось пучка плоскостей или плоскость параллелизма.

Алгоритмическая часть: 1) выделяем из пучка плоскостей плоскость a`, 2) находим точки пересечения линий с этой плоскостью, 3) строим окружность с центром в точке C` и радиусом C`A`, 4) переходим к следующей плоскости пучка и повторяем построения.

III способ.

Геометрическая часть: отсек линейчатой поверхности, несущей на себе множество векторов-образующих и ограниченный линиями c и m, причем с – линия центров окружностей поверхности.

Алгоритмическая часть: 1) отнесем в пространстве каждому вектору окружность, центр которой совпадает с началом C` вектора C`M`, радиус равен модулю этого вектора; плоскость окружности перпендикулярна направлению вектора. Непрерывное множество направляющих векторов определит поверхность круговых образующих.

Каркасы из набора окружностей используются в качестве арматуры при изготовлении деталей.

8. Пересечение поверхности с плоскостью.

Если заданная плоскость проецирующая, то решение задачи сводится к тем построениям, что были описаны в задаче 1.

След проецирующей плоскости совпадает с одной из проекций линии пересечения поверхности плоскостью.

Но к первой задаче можно прийти если секущая плоскость – плоскость общего положения. Для этого нужно воспользоваться одним из способов, позволяющих плоскость общего положения преобразовать в проецирующую.

Фигура сечения может быть построена и без преобразования эпюра. Для этого следует создать каркас поверхности и определить точки пересечения образующих каркаса с заданной плоскостью общего положения.

Пример 1. Сечение сферы плоскостью.

а) пусть дана сфера и фронтально проецирующая плоскость а2.

Окружность, по которой а2 пересекает сферу, проецируется на П1 в эллипс. Две вершины этого эллипса являются горизонтальными проекциями высшей и низшей точек сечения. Точки, лежащие на экваторе на П2 – точки смены видимости.

б) Заданными являются сфера с центром С и плоскость общего положения а (горизонталь и фронталь плоскости а пересекаются).

Рассматриваемый случай можно свести к предыдущему, проделав замену плоскости П2 плоскостью П4, перпендикулярной горизонтали h. В новой системе заданная плоскость стала проецирующей.

Построение фронтальной проекции сечения можно выполнить независимо от уже построенной проекции сечения на плоскости П1. Для этого следует перейти от системы П2/П1 к П5/П2. Новая плоскость перпендикулярна фронтали заданной плоскости.

Точки, расположенные на главном меридиане сферы определяют границы видимости фронтальной проекции линии сечения.

Пример 2. Пересечение циклической поверхности плоскостью общего положения.

Искомое сечение нужно строить путем многократного решения задачи на пересечение окружности с плоскостью.

Алгоритм: заключаем окружность в плоскость (вспомогательную), строим линию, по которой пересекаются заданная и вспомогательная плоскость, отмечаем точку К2 пересечения фронтали проекции m2 с одноименной проекцией f`2 прямой f`. С помощью линии связи определяем проекцию К1 той же точки на плоскости П1.

Пример 3. Пересечение поверхности вращения общего вида плоскостью.

Пусть ось поверхности вращения перпендикулярна П1. Покажем, что сечение поверхности вращения плоскостью а и проекция этого сечения на плоскость, перпендикулярную оси, являются кривыми, имеющими ось симметрии.

Для этого определим 2 точки, принадлежащие одной параллели поверхности вращения.

Вспомогательная плоскость пересечет заданную плоскость по горизонтали.

Параллель и горизонталь, находясь в одной плоскости (вспомогательной), пересекаются в точках, которые принадлежат искомой линии.

Кривая сечения поверхности вращения плоскостью а представляет собой кривую симметричную, осью симметрии которой служит линия пересечения плоскостей.

Эта ось симметрии является той линией наибольшего ската плоскости, которая пересекает ось поверхности вращения.

Высшая и низшая точки в данном случае должны быть симметричными самим себе и каждая из них должна находиться на оси симметрии кривой сечения. Этот вывод позволяет наметить простой путь определения этих точек: проведем по плоскости а линию наибольшего ската, пересекающую ось поверхности вращения, эту прямую и меридиан поверхности, плоскость которого совпадает с данной прямой, повернем вокруг оси до положения // П2, отметим точки пересечения фронтальных проекций главного меридиана и повернутой прямой, возвращаем обратным поворотом прямую вместе с найденными точками до первоначального положения.

Пример 4. Конические сечения.

• Если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конуса, то в сечении эллипс;

• Если секущая плоскость параллельна только одной образующей, то в сечении будет парабола;

• Если пересечь конус плоскостью, параллельной двум его образующим (в частном случае параллельно оси конуса), то в сечении получится гипербола.

(Доказательство на стр. 109-110)