3. Поверхности вращения.

Получили широкое применение в строительной технике и машиностроении.

Эти поверхности создаются при вращении криволинейной или прямолинейной образующей m вокруг неподвижной оси.

Геометрическая часть состоит всего лишь из двух линий: образующей m и оси i.

Алгоритмическая часть: 1) на образующей m выделяют ряд точек; 2) каждую точку вращают вокруг оси.

Так создается каркас поверхности, состоящий из множества окружностей, плоскости которых расположены перпендикулярно оси вращения. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель – горло, наибольшая – экватор.

Из закона образования поверхностей вращения вытекают два основных свойства:

1. Плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – параллели.

2. Плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – меридианам.

На чертеже ось поверхности вращения обычно располагают перпендикулярно одной плоскости проекций. Тогда на эту плоскость параллели проецируются без искажений, а на другую – два меридиана, которые определяют фронтальный очерк поверхности. Меридиан, расположенный в плоскости, параллельной П2 (ось перпендикулярна П1), называют главным.

Наиболее распространенные поверхности вращения с криволинейными образующими:

1.Сфера. Образуется вращением окружности вокруг ее диаметра. При сжатии или растяжении преобразуется в эллипсоиды.

2.Тор. Поверхность тора формируется при вращении окружности вокруг оси, не проходящей через центр окружности.

3.Параболоид вращения. Образуется при вращении параболы вокруг ее оси. Параболоидом вращения является система параболических зеркал, применяемых в прожекторах и фарах автомобилей.

4.Гиперболоид вращения. Различают одно- и двухполостный гиперболоиды вращения. Первый получается при вращении гиперболы вокруг мнимой оси, а второй – при вращении ее вокруг действительной оси. Поверхность однополостного гиперболоида может быть образована и вращением прямой линии. Эта поверхность дважды линейчатая, т е через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две его прямолинейные образующие.

Построение проекций однополостного гиперболоида вращения:

• Пусть ось вращения расположена перпендикулярно П1. При вращении образующей АВ вокруг оси каждая точка прямой перемещается в пространстве по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси, поэтому на П1 эта окружность проецируется без искажения, а на П2 – в горизонтальную прямую. Меридианом поверхности однополостного гиперболоида является гипербола.

4. Линейчатые развертывающиеся поверхности.

Развертывающейся называется такая линейчатая поверхность, которую можно без складок и разрывов развернуть на плоскость.

Линейчатость поверхности – необходимый, но недостаточный признак развертываемости.

К развертывающимся поверхностям относятся цилиндрическая, коническая и поверхность, образованная множеством касательных к некоторой кривой.

Геометрической частью определителя цилиндрической поверхности являются направляющая и образующая, а для конической – направляющая и точка-вершина.

Алгоритмическая часть: выделить ряд точек на направляющей, через каждую провести прямые линии параллельно образующей при построении цилиндрической поверхности проходящие через вершину в случае конической.

Третий вид, представляющий собой множество касательных к произвольной пространственной кривой, называется торсовой или поверхностью с ребром возврата.

Торсовая поверхность может быть задана всего лишь одной линией – кривой, которая является геометрической частью определителя торсовой поверхности.

Когда точка касания прямолинейной образующей движется по ребру возврата, то касательная к нему образует развертывающуюся поверхность, причем полукасательная, которая расположена по одну сторону от точки касания, образует одну полость, а вторая полукасательная – вторую. Таким образом, ребро возврата делит поверхность на две полости.

Развертывающиеся поверхности можно обработать плоским инструментом, движение которого определяется только одним параметром.

Пусть ребром возврата является цилиндрическая винтовая линия. Если поверхность, образованную этим ребром, пересечь плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, то в сечении получим эвольвенту, эволютой которой является окружность – ортогональная проекция ребра возврата на ту же плоскость.

Эволютой кривой линии называется множество центров ее кривизны. Кривая линия по отношению к ее эволюте называется эвольвентой. Нормали эвольвенты будут касательными к эволюте.

Закон образования поверхности:

Когда прямая линия движется в пространстве, оставаясь касательной к цилиндрической винтовой, проекция касательной на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра, без скольжения обкатывает окружность – проекцию ребра возврата на ту же плоскость.

А при таком движении прямой по окружности каждая точка прямой описывает эвольвенту.

Винтовой эвольвентой поверхностью являются откосы насыпи и выемки полотна ж/д.