Проекции плоских кривых.
При построении проекций плоской кривой необходимо указывать на их характерные точки, к которым относятся особые точки кривой, а также точки, наиболее удаленные от плоскостей проекций и наиболее близкие к ним.
Обыкновенная точка кривой – такая точка М, которую можно заключить в прямоугольник так, что попавшая внутрь него часть кривой является простым отрезком, а все другие точки – особые.
Простой отрезок кривой – множество точек, координаты которых хотя бы в одной прямоугольной декартовой системе удовлетворяют уравнению y= f(x) при x1<=x<=x2, где х1 и х2 – два фиксированных значения, а f(x) предполагается однозначной, непрерывной и достаточное число раз дифференцируемой.
Есть несколько видов особых точек:
Узловая или точка самопересечения, в которой кривая имеет две различные касательные
Точка возврата первого рода, в которой кривая подходит к точке двумя ветвями, имеющими в точке В общую касательную и расположенными по разные стороны от касательной
Точка возврата второго рода С, в которой кривая подходит к точке двумя ветвями, имеющими в точке С общую касательную, расположенную по одну сторону от обеих ветвей кривой
Рис 175 на стр 73
Проекции плоских алгебраических линий.
Если f(x, y) представляет собой многочлен n-й степени, то линия, определяемая уравнением f(x, y) = 0, называется алгебраической линией n-го порядка.
Ортогональная проекция окружности радиуса а есть эллипс с полуосями а и аcosϕ.
Ортогональной проекцией эллипса является эллипс, гиперболы – гипербола, параболы – парабола.
Афинный класс кривой второго порядка сохраняется при ортогональном проецировании.
Пространственные кривые – винтовые (цил-ие и кон-ие).
Цилиндрическая винтовая линия.
Такую линию описывает точка, которая движется по к-л образующей прямого кругового цилиндра, вращающегося около своей оси так, что путь, проходимый точкой по образующей, все время пропорционален углу поворота цилиндра.
Шаг цилиндрической винтовой линии – смещение точки вдоль образующей за один оборот цилиндра.
При постоянном шаге h винтовая линия пересекает все образующие цилиндра, на поверхности которого она расположена, под одним и тем же углом.
Различают правую и левую винтовые линии.
Исходные данные для построения винтовой линии:
Радиус;
Шаг;
Направление линии (правое или левое).
Т к угловое перемещение точки, движущейся по цилиндрической винтовой, прямо пропорционально линейному перемещению, то при повороте точки на 360/n она должна переместиться // оси цилиндра на 1/n шага.
Фронтальная проекция винтовой находится находится на общем перпендикуляре к Ох с соответствующей горизонтальной проекцией.
Фронтальная проекция винтовой линии – деформированная синусоида, т к закономерность ее та же, что и при построении синусоиды.
При развертке винтовая линия превращается в прямую, т к линейное и угловое перемещение точки связаны прямой пропорциональной зависимостью.
Т е винтовая линия есть геодезическая линия цилиндрической поверхности.
Геодезическая линия – линия, которая имеет наименьшую длину среди всех линий на поверхности, соединяющих две данные точки.
Зависимость между радиусом цилиндра, шагом и углом подъема винтовой линии:
h =2пRtgϕ
Коническая винтовая линия.
Такую линию описывает точка, движущаяся по какой-нибудь образующей прямого кругового конуса, вращающегося в то же время около своей оси так, что путь, проходимый точкой по образующей, все время пропорционален углу поворота конуса.
Шаг конической винтовой поверхности – проекция на ось конуса смещения точки вдоль образующей за один оборот.
Особенность построения горизонтальной проекции конической винтовой линии состоит в том, что горизонтальная проекция движущейся точки определяется с учетом двух движений: вращательного – вместе с образующей и поступательного – вдоль образующей.
Горизонтальная проекция конической винтовой линии представляет собой спираль Архимеда.
Фронтальная проекция каждой точки винтовой линии определяется пересечением фронтальных проекций параллелей конуса, плоскости которых смещены одна относительно другой на расстояние, равное h/12, и линий проекционной связи.
Параллель конуса вращения – окружности, которые являются линиями пересечения конуса плоскостями, перпендикулярными оси вращения конуса.
Обозначения:
h – шаг винтовых линий;
2ϕ – угол при вершине;
р – расстояние от точки М до оси z (это расстояние для цилиндрической винтовой постоянно, а для конической задается уравнением:
)координаты М определяются:
уравнение цилиндрической и конической винтовой линии можно записать в виде:
Поверхности