Теоремы Ферма и Ролля.
Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что
Если вещественная функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
Доказательство
Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.
Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.
Ферма
Звучит
Для
любого натурального
числа 
уравнение
не
имеет натуральных решений 
, 
и 
.
Док-во
Теоремы Лагранжа и Коши.
Теорема Лагранжа
Теорема.
Пусть функция 
дифференцируема в открытом промежутке
и сохраняет непрерывность на концах
этого промежутка. Тогда существует
такая точка 
,
что
|
|
(13) |
|
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
Эта
функция непрерывна и дифференцируема
в промежутке 
,
а на его концах принимает одинаковые
значения:
Тогда
удовлетворяет всем условиям теоремы
Ролля и, следовательно, существует
точка
,
в которой производная функции
равна нулю:
Следствие
1.
В частном случае, когда 
,
из теоремы Лагранжа вытекает, что
существует точка
,
в которой производная функции
равна
нулю: 
.
Это означает, что теорема Лагранжа
является обобщением теоремы
Ролля.
Следствие
2.
Если 
во всех точках некоторого промежутка
,
то 
в
этом промежутке.
Действительно, пусть 
и 
– произвольные точки промежутка
и 
.
Применяя теорему Лагранжа к промежутку
,
получим
Однако во всех точках промежутка . Тогда
Учитывая произвольность точек и , получаем требуемое утверждение.
Теорема Коши
Если
каждая из функций f и g непрерывна
на [a, b]
и имеет конечную или бесконечную
производную на ]a, b[
и если, кроме того, производнаяg'(x)
≠ 0 на ]a, b[,
то 
такое,
что справедлива формула
Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ≠ g(b), то условие g'(x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:
Теорема
Коши: Пусть
функции у=f(х)
и у=g(х) неперырвны
на отрезке [a,b],дифференцируемы хотя бы
в открытом промежутке (a,b) и на этом
промежутке g'(х) не
обращается в нуль. Тогда существует
такая точка c (a,b), что выполняется
равенство (1)
Докозательство:
Вначале отметим, что знаменатель g(b)-g(a)
≠ 0,т.к. из
равенства g(b)=g(a) следовало
бы по теореме Ролля, что производная
g'(х) обратилась
бы в нуль в какой-нибудь точке промежутка
(a,b), что противоречит условию g'(х)≠0.
Образуем вспомогательную функцию:
К
ней применима теорема Ролля: F(х)
непрерывна в [a,b] и дифференцируема в
(a,b) как сумма функций, непрерывных и
дифференцируемых в соответствующих
промежутках, кроме того, как легко
проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0.
Следовательно, существует точка c (a,b),
, такая, что F'(c)=0. Вычисляем:
Подставляем
x=c:
После
деления на g'(х) (причем как говорилось
раньше g'(х) 0), мы приходим к формуле
(1)
