Семестр 03 / Лекции по физике / Elmag7

23. Электромагнитная индукция

1. ЭДС

М. Фарадей в 1831г открыл закон электромагнитной индукции.

Закон Фарадея:

При изменении потока магнитной индукции через площадь контура, в нем возникает электродвижущая сила - ЭДС индукции:

.

ЭДС возникает при любом изменении магнитного потока в контуре и может быть обусловлена изменением , площади контура или ориентации контура в магнитном поле.

При этом в контуре возникает индукционный ток, такой, который своим магнитным полем препятствует изменению магнитного потока через контур.

Правило Ленца

Индукционный ток имеет такое направление, чтобы противодействовать причине его вызывающей, то есть, чтобы противодействовать изменению потока.

2. Принципиальная схема “динамо-машины” (генератора)

- поле сторонних сил магнитного происхождения,

которое существует только на движущейся перемычке.

3. Модель электромотора

,

где - движущийся на перемычке заряд.

- сила, действующая на перемычку

перемычка отъезжает.

4. Максвелловская трактовка явления электромагнитной индукции.

Всякое изменение магнитного поля во времени возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле.

а) Согласно Фарадею, электромагнитная индукция заключается в возбуждении электрического тока, для её наблюдения необходимо существование замкнутого контура.

б) Согласно Максвеллу, возникает , а не ток; ток потечет, если в этом месте с

окажется проводящая среда, и это лишь одно из проявлений . Оно может производить и другое действие: например, поляризовать диэлектрик или ускорять/тормозить заряженные частицы.

Вывод: формулировка Максвелла более общая, чем закон электромагнитной индукции Фарадея.

- дифференциальная форма закона электромагнитной индукции. Это уравнение заменяет уравнение для статики

электрическое поле может быть потенциальным и вихревым.

5. Токи Фуко

В массивных проводниках, движущихся в магнитном поле или помещенных в переменное магнитное поле , возбуждаются вихревые индукционные токи – токи Фуко.

В соответствии с правилом Ленца, токи Фуко текут так, чтобы препятствовать своим полем изменению внешнего поля. Если на проводник наложить , то оно будет “выталкиваться” из проводника к поверхности в результате экранировки токами Фуко. Этот эффект максимален в

сверхпроводниках. Возникает скин-эффект.

24. Самоиндукция. Индуктивность контура

1. Индуктивность контура.

Ток, текущий в любом контуре, создает пронизывающий этот контур поток .

Изменение тока в контуре изменение - ЭДС. Это явление называется самоиндукцией.

Из закона Био-Савара-Лапласа следует, что ,

где - индуктивность контура – коэффициент пропорциональности между током в контуре и магнитным потоком, пронизывающим контур и порожденным этим током .

только когда среды, окружающей контур, не зависит от , то есть . Для ферромагнетиков это не так в присутствии ферромагнетика , что неудобно.

- ЭДС самоиндукции.

- функция геометрии контура (формы и размера) и магнитных свойств окружающей среды.

Физический смысл индуктивности – мера инертности по отношению к электромагнитным явлениям (аналог массы и момента инерции в механике).

2. Индуктивность соленоида.

Рассмотрим очень длинный соленоид и вычислим полный магнитный поток, пронизывающий все его витки, по которым течет ток .

- индуктивность соленоида.

3. Индуктивность тороида

- всего витков, намотанных на тор.

- индуктивность тороида.

25. Взаимная индукция. Теорема взаимности

Вычислим поток магнитной индукции через площадь первого контура

(поверхность, ограниченную первым контуром), обусловленный токами :

.

Поток через площадь второго контура:

Полный поток () называется потокосцеплением.

Для соленоида из витков - сумма по всем контурам.

- коэффициент самоиндукции или индуктивность - ого контура.

Из опыта, в отсутствии ферромагнетиков выполняется теорема взаимности:

, где - коэффициент взаимной индукции - ого и - ого контуров.

определяется геометрией контуров, их взаимным расположением и магнитной проницаемостью окружающего пространства.

а)

б)

в)

Когда токи в контурах текут в одном направлении ,

когда токи в контурах текут в разных направлениях .

При последовательном включении двух катушек ,

при этом может быть .

26. Токи при замыкании и размыкании цепи, содержащей индуктивность

1. Размыкание цепи

Пусть сопротивление источника и катушки равно нулю.

При размыкании при .

- время, за которое ток в цепи убывает в раз.

2. Замыкание цепи

Из начальных условий находим .

27. Токи при замыкании и размыкании цепи с емкостью

1. Замыкание цепи

2. Размыкание цепи

28. Энергия магнитного поля

Пусть существует соленоид с током . Он создает магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Если разомкнуть ключ, то через сопротивление будет некоторое

время течь ток:

Работа, совершаемая этим током за время :

- эта работа идет на приращение внутренней энергии сопротивления и соединительных проводов.

При этом исчезает магнитное поле и, так как больше никаких изменений не происходит, следовательно, магнитное поле является источником этой энергии:

- энергия соленоида с током – работа, которую надо совершить против ЭДС самоиндукции в процессе нарастания тока от 0 до (или убыли от до 0).

Учтем, что индуктивность соленоида

- плотность энергии магнитного поля

В случае связанных контуров:

Для контуров:

, где - взаимная индуктивность, - индуктивность - ого контура

29. Способы вычисления индуктивности

Существует два способа вычисления индуктивности:

1 способ: из определения .

Сложность заключается в том, что не всегда понятно, как надо провести в теле проводника геометрический контур, необходимый для вычисления .

Если надо вычислить взаимную индуктивность, то можно использовать выражение:

2 способ: из энергии .

Преимущество этого способа заключается в том, что не надо думать о выборе контура. В случае очевидных простых геометрий первый способ может быть проще.

Примеры

1. Коаксиальный кабель, состоящий из двух тонкостенных цилиндров

Поле в разных областях: ; ; .

1) 1 способ.

Вычислим поток поля через контур, показанный на рисунке:

.

2) 2 способ.

Плотность энергии во второй области:

- индуктивность единицы длины коаксиального кабеля.

1а. Обычно коаксиальный кабель состоит из внутреннего сплошного проводника радиуса и наружной коаксиальной с проводником тонкостенной трубки радиуса .

1) В этом случае необходимо при расчете первым способом провести контур через ось цилиндра, как показано на рисунке и, вычислив поле внутри сплошного проводника, определить полный поток, пронизывающий выбранный контур:

2) Индуктивность единицы длины коаксиального кабеля, рассчитанная вторым способом из энергии с учетом поля внутри сплошного проводника,

В данном случае разные способы расчета дают отличающиеся в 2 раза результаты, однако, надо иметь в виду, что , представляя собой очень малую индуктивность.

В данном случае разные способы расчета дают добавки к логарифму, отличающиеся в 2 раза, однако, надо иметь в виду, что , представляя собой очень малую индуктивность, а полученное отличие связано со сложностью выбора контура. Полученный результат несет в себе информацию о том, что индуктивность единицы длины прямого много меньше индуктивности единицы длины коаксиального кабеля.

2. Индуктивность единицы длины двухпроводной линии.

1 способ :

;

- индуктивность единицы длины двухпроводной линии.

2 способ:

;

, так как , где - поток, который создает один из проводников (в данном случае - второй) в пространстве между проводами и в другом (первом) проводе

или

3.Два соленоида: один в другом

Дано:

Найти:

Решение: , где - поток через витки

соленоида 1, если во втором течет ток .

- взаимная индуктивность соленоидов на единицу длины.