3) Теорема Остроградского

Поток вектора через любую замкнутую поверхностьS равняется суммарной мощности источников поля , содержащихся в объемеV, ограниченном данной поверхностью S.

Пример

однородное поле =const

- ?- ?

Вопр.: Что будет, если поверхностьне замкнута? Ведь для однородного поляБудет ли?

Отв.: Нет, т.к. теорема Остроградского верна только для замкнутых поверхностей.

12. Теорема Гаусса для напряженности электрического поля в

вакууме

1. Теорема Гаусса– это теорема Остроградского применительно к напряженности электрического поля

Поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхностьS равен суммарной мощности источников поля , находящихся в объеме, ограниченном поверхностьюs.

Теорема верна всегда.

Остается выяснить, что же является источником напряженности электростатического поля в вакууме.

1) Рассмотрим поле точечного зарядаq:.

Т.к. поверхность Sможно брать любую, возьмем сферу радиусаrи вычислим через ее поверхность поток векторапо теореме Остроградского-Гаусса:

Вопр.1Что получится, если взять замкнутую поверхность, не содержащую внутри себя зарядаq?

Отв.В этом случае поток, т.к.в каждой точке выбранного объема.

Вопр.2.Но ведь и в предыдущем случае. Что-то не сходится! Что не так?

Отв.в тех точках, где нет зарядаq, а в центре сферы, где находится заряд,.

2) Теперь рассмотрим систему зарядов и найдем поток полячерез поверхностьS, воспользовавшись принципом суперпозиции для напряженности электрического поля и результатом, полученным для одного заряда:

Интегральная форма теоремы Гаусса для напряженности электрического поля в вакууме:

Поток напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность в вакууме равняется заряду, заключенному внутри этой поверхности, деленному на.

2.Получим дифференциальную форму теоремы Гаусса.

так как объем, по которому проводится интегрирование – один и тот же для правого и левого интеграла, то:

и т.к. объем- любой, то равенство 0 может быть выполнено только при условии:

-дифференциальная форма теоремы Гаусса для напряженности

электрического поля в вакууме(одно из уравнений Максвелла для вакуума).

Оно содержит в себе закон Кулона и принцип суперпозиции.

Физический смысл уравнения :

источниками напряженности электростатического поля в вакууме являются электрические заряды, причем удельная мощность источников поля в каждой

точке пространства равняется плотности заряда в этой точке, деленной на .

3.Иногда удобнее решать задачу для потенциала:

- оператор Лапласа (лапласиан).

Там, где нет заряда, распределение потенциала подчиняется уравнению Лапласа:

и находится в результате решения этого уравнения.

- уравнение Лапласа.

- уравнение Пуассона.

Оно описывает распределение потенциала электростатического поля в заряженных областях.

4. Из теоремы Остроградского – Гаусса легко получить аналитический вид закона сохранения (точнее, изменения) заряда.

Пусть из некоторой области с объемом происходит утечка заряда- ток через поверхностьsобъема.

т.к. объем, по которому производится интегрирование в левой и правой части равенства один и тот же, то

+=0 -закон сохранения заряда.