4.2. Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла функции одной переменной на отрезке. Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла (без доказательства), считая подынтегральные функции интегрируемыми.

1. , где .

2. .

3. Если область разбить линией на две области и такие, что , а пересечение , где  линия, разделяющая и (см. рисунок), то

4. Если в области имеет место неравенство , то и

.

5. Если в области функции и удовлетворяют неравенству , то и

.

6. Если , , то , где  площадь области интегрирования .

7. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то

,

где и  соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области .

8. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области существует такая точка , что

.

Величину называют средним значением функции в области .

4.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция непрерывна в области . Тогда, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью . Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. , где  площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси , а и  уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

направлении оси : любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в дух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси : , где .

В сечении получаем криволинейную трапецию , ограниченную линиями , где , и . Площадь этой трапеции находим с помощью определенного интеграла:

.

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

.

С другой стороны, объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области . Следовательно,

.

Таким образом, для вычисления двойного интеграла функции по области используется следующая формула

. (4.2)

Правую часть (4.2) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции по области . Интеграл называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая постоянным, затем берем внешний интеграл, т.е. результат первого интегрирования интегрируем по в пределах от до .

Если область ограничена прямыми и ( ), кривыми и , причем для всех , т.е. область  правильная (стандартная) в направлении оси , то, рассекая тело плоскостью , аналогично получаем

. (4.3)

Здесь при вычислении внутреннего интеграла, считаем постоянным.

Замечания.

1. Формулы (4.2) и (4.3) справедливы и в случае, когда , .

2. Если область правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как и по формуле (4.2), так и по формуле (4.3).

3. Если область не является правильной ни «по », ни «по », то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси или оси .

4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

Пример 4.1. Вычислить , если область ограничена линиями: .

Решение. I способ.

II способ. Построенная область является правильной в направлении оси . Для вычисления двойного интеграла воспользуемся формулой (1.3):

.

,