3.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл второго рода)

Определение 3.2. Пусть функция непрерывна на промежутке и имеет бесконечный разрыв при . Если существует конечный предел , где , то его называют сходящимся несобственным интегралом второго рода и обозначают , т.е.

. (3.2)

Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке , то полагают

.

Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой

.

В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба предела, стоящих справа существуют.

Пример 3.5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

.

Следовательно, данный интеграл расходится.



Пример 3.6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

.

Следовательно, данный интеграл сходится.



4. Двойной интеграл

4.1. Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости замкнутую область . Область называется замкнутой, если она ограничена замкнутой линией, и точки, лежащие на границе, считаются принадлежащими области .

Пусть в области задана непрерывная функция .

Схема получения двойного интеграла

1) Разбиваем область на «элементарных областей» .

2) Площадь области обозначим , а диаметр (наибольшее расстояние между двумя точками области) – через .

3) Возьмем произвольную точку .

4) Находим , что равно объему тела (призма), площадь основания которого , а высота равна .

5) Составляем интегральную сумму

.

6) Обозначим через длину наибольшего из диаметров «элементарных областей», т.е. , . Найдем предел интегральной суммы, когда так, что . Если предел существует и не зависит от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области .

.

Таким образом, двойным интегралом от по замкнутой областью называется предел интегральной суммы , когда число «элементарных областей» неограниченно возрастает, а длина наибольшего диаметра стремится к нулю:

. (4.1)

 интегрируемая функция в области ;

 область интегрирования;

и  переменные интегрирования;

или  элемент площади.

Для всякой ли функции существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем без доказательства.

Теорема 4.1 (достаточное условие интегрируемости функции).

Если функция непрерывна в замкнутой области ,то она интегрируема в этой области.

Замечание: далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Двойной интеграл от неотрицательной функции ( ) численно равен объему тела, которое сверху ограничено поверхностью , снизу – замкнутой областью плоскости , с боков – цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси , а направляющей служит граница , т.е.

.