2.1. Основные свойства определенного интеграла

Свойство 1. Если и функция интегрируема на отрезке , то

.

Свойство 2. Если функции и интегрируемы на отрезке , тогда интегрируема на их сумма и

.

т.е. интеграл суммы равен сумме интегралов.

Свойство 3.

.

Свойство 4 (аддитивности). Если функция интегрируема на отрезке и , то

,

т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка.

Свойство 5 (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то существует точка , такая, что справедливо равенство

. (2.3)

называется средним значением функции на отрезке .

2.3. Формула НьютонаЛейбница

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда она интегрируема и на любом отрезке , где , т.е. для любого имеет смысл интеграл . Рассмотрим функцию

, (2.4)

которая определена на отрезке и называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 2.2. Если функция непрерывна на отрезке , то производная функции существует в каждой точке , причем

.

Надо отметить, что любая функция , непрерывная на отрезке , имеет первообразную, определяемую формулой (2.4).

Теорема 2.3. Если функция непрерывна на отрезке и  какая-нибудь первообразная для на этом отрезке, то справедлива формула НьютонаЛейбница

. (2.5)

Формулу НьютонаЛейбница (2.5) можно записать в виде

,

где  называется двойной подстановкой от до для функции .

Пример 2.1. Вычислить интеграл:

1) ;

2)

.



2.4. Вычисление определенного интеграла

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формула НьютонаЛейбница. Кроме того, при вычислении определенного интеграла используются метод замены переменной и метод интегрирования по частям. Отметим только то, что:

1) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных;

2) при вычислении определенного интеграла методом постановки возвращаться к исходной переменной не требуется.

Рассмотрим на примерах, как используются эти методы при вычислении определенных интегралов.

Пример 2.2. Вычислить интеграл .

Решение. Способ 1.

.

Способ 2. Сначала найдем неопределенный интеграл

Далее находим определенный интеграл:

.



Пример 2.3. Вычислить интеграл .

Решение.

.



2.5. Приложение определенного интеграла в геометрии и экономике

Определенный интеграл широко применяется в геометрии, физике, технике, экономике и других отраслях наук. Рассмотрим некоторые приложения определенного интеграла в геометрии и экономике.

1. Вычисление площади плоской фигуры

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью , сбоку – прямыми и , называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Умножим значение функции на длину соответствующего частичного отрезка. Произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой . Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры, которая приближенно равна площади криволинейной трапеции:

.

С уменьшением всех длин точность приближения ступенчатой фигуры к криволинейной трапеции и точность полученной формулы увеличивается. За точность значения площади криволинейной трапеции принимается предел , к которому стремится площадь ступенчатой фигуры , когда неограниченно возрастает так, что : .

А как было выведено выше

.

Таким образом, если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой двумя прямыми и и отрезком оси абсцисс , определяется формулой

. (2.6)

Если функция непрерывна и неположительная на отрезке , то функция является неотрицательной на отрезке . Тогда

.

Так как в силу симметрии площади криволинейных трапеций, находящихся под осью и над осью , равны, то в случае неположительной функции интеграл равен значению площади криволинейной с точностью до знака.

Пример 2.4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

.

Решение. Строим графики заданных линий.

 график парабола, вершина которой находится в точке , точки пересечения с осями координат:  с осью и  с осью .

 график прямая, которую строим по двум точкам.

Находим абсциссы точек пересечения кривых. Решаем систему уравнений

Тогда

.

