1.3. Таблица основных неопределенных интегралов
Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления и использование свойств неопределенного интеграла.
Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения первообразных (т.е. интегрирования функций) сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы наизусть и уметь их узнавать.
Таблица основных интегралов
1.
;
11.
;
2.
;
12.
;
3.
;
13.
;
4.
;
14.
;
5
;
15.
;
6.
;
16.
;
7.
;
17.
;
8.
;
18.
.
9.
;
10.
;
1.4. Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
Пример 1.2. Найти следующие интегралы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
1.5. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется найти интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную для мы не можем, но нам известно, что она существует.
Сделаем замену переменной в подынтегральном
выражении, положив
,
где
непрерывная функция
с непрерывной производной, имеющая
обратную функцию. Тогда
и на основании свойства инвариантности
формулы интегрирования неопределенного
интеграла получаем формулу
интегрирования подстановкой
.
(1.2)
Иногда целесообразно подбирать
подстановку в виде
,
тогда
,
где
.
Другими словами, формулу (1.2) можно применять справа налево.
Пример 1.3. Найти следующие интегралы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
1.6. Метод интегрирования по частям
Например, требуется найти интеграл
.
Подынтегральная функция представляет
собой произведение двух сомножителей.
К сожалению, не существует формулы,
выражающей интеграл от произведения
функций через интегралы сомножителей.
С этим связано то обстоятельство, что
в отличие от производной интеграл от
элементарной функции не всегда является
элементарной функцией.
Пусть
и
функции, имеющие
непрерывные производные. Тогда
.
Интегрируя это равенство, получаем
или
.
(1.3)
Формула (1.3) называется формулой
интегрирования по частям. Она дает
возможность свести вычисление интеграла
к вычислению интеграла
,
который может оказаться существенно
более простым, чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том,
что подынтегральное выражение заданного
интеграла представляется каким-либо
образом в виде произведения двух
сомножителей
и
(это, как правило, можно осуществить
несколькими способами); затем, после
нахождения
и
,
используется формула интегрирования
по частям. Иногда эту формулу приходится
использовать несколько раз.
Большая часть интегралов, берущихся по формуле (1.3), может быть разбита на три группы:
1 группа. Интегралы вида
,
,
,
где
многочлен,
- число. Удобно положить
,
а за
обозначить все остальные сомножители.
2 группа. Интегралы вида
,
,
,
,
.
Удобно положить
,
а за
обозначить остальные сомножители.
3 группа. Интегралы вида
,
,
где
и
- числа,
,
.
Применяя формулу (1.3) к любому из указанных
интегралов дважды, мы получим для
нахождения интеграла уравнение первого
порядка, причем за
можно принимать любой из сомножителей.
Конечно, указанные группы не исчерпывают всех интегралов, которые можно вычислять по формуле (1.3).
Пример 1.4. Найти следующие интегралы:
1)
;
2)
;
3)
.
Таким образом, получаем
.
Далее
,
.