4.4. Приложения двойного интеграла Объем тела

Согласно геометрическому смыслу двойного интеграла, объем цилиндрического тела находится по формуле:

, (4.4)

где  уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Согласно свойству 6 двойного интеграла, если , то цилиндрическое тело «превращается» в прямой цилиндр с высотой, равной 1. Объем такого цилиндра численно равен площади основания , т.е. площади области интегрирования . Тогда для вычисления площади плоской фигуры получаем формулу:

. (4.5)

Пример 4.2. (Условие примера 2.4.) Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

.

Решение. Строим графики заданных линий.

 график парабола, вершина которой находится в точке , точки пересечения с осями координат:  с осью и  с осью .

 график прямая, которую строим по двум точкам.

Находим абсциссы точек пересечения кривых. Решаем систему уравнений

Тогда

.

