3. Производная по направлению.
ГРАДИЕНТ
3.1. Производная по направлению
Пусть задана функция
,
и точка
.
Будем предполагать, что функция
непрерывна и имеет непрерывные производные
по своим аргументам в области
.
Проведем из точки
вектор
,
направляющие косинусы которого
.
.
Учитывая, что
,
то полученное равенство будет иметь
следующий вид:
.
Перейдем к пределу при
.
Определение 3.1. Предел отношения
при
называется производной от функции
в точке
по направлению вектора
и обозначается
,
т.е.
.
Итак, если функция
дифференцируемая, то производная от
функции в точке
по направлению вектора
находится по следующей формуле:
,
(3.1)
где
направляющие
косинусы вектора
.
В случае функции двух переменных , т.е. когда поле плоское, формула (3.2) примет следующий вид:
,
(3.2)
где
.
Подобно тому, как частные производные
характеризуют скорость изменения
функции
в направлении осей координат, так и
производная по направлению
будет являться скоростью изменения
функции
в
точке
по направлению вектора
.
3.2. Градиент
В каждой точке области
,
в которой задана функция
,
определим вектор, проекциями которого
на оси координат являются значения
частных производных
в выбранной точке
.
Назовем этот вектор градиентом
функции
и обозначим его символами
.
Определение 3.2. Градиентом функции в точке называется вектор, проекции которого служат значения частных производных этой функции, т.е.
.
(3.3)
Подчеркнем, что проекции градиента зависят от выбора точки и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией , соответствует определенный вектор – градиент этой функции.
Учитывая то, что скалярное произведение равно модулю одного вектора умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что: производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е.
,
где угол между и направлением .
Установим некоторые свойства градиента.
Отсюда следует, что производная по
направлению достигает наибольшего
значения, когда
,
т.е. при
.
1) Производная в данной точке по
направлению вектора
имеет наибольшее значение, если
направление вектора
совпадает с направлением градиента;
это наибольшее значение производной
равно
.
Таким образом, направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции. В противоположном направлении функция будет быстрее всего убывать. наибольшая скорость изменения функции в точке .
2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.
Пример 3.1. Дана функция
.
Найти:
1) производную в точке
по направлению вектора
;
2) производную в точке
по направлению к точке
;
3) градиент функции в точке ;
Решение. 1) Находим частные производные и значения частных производных в точке :
;
;
.
Находим направляющие косинусы вектора :
.
Тогда по формуле (3.1) получаем:
.
Так как
,
то в данном направлении функция
возрастает.
2) Находим координаты и направляющие
косинусы вектора
:
;
.
Тогда по формуле (3.1) получаем:
.
Так как
,
то в данном направлении функция убывает.
3) Используя формулу (3.3) запишем градиент функции в точке :
.