50.Модель равновесия цен.

Кроме модели Леонтьева, существует двойственная ей, так называемая модель равновесных цен.

Обозначим через p^T транспонированный вектор-столбец цен, -я координата которого равна цене единицы продукции -й отрасли; x^T – транспонированный вектор-столбец валового выпуска x; A – матрицу прямых затрат.

Как и ранее, предполагается, что каждая отрасль производит один вид продукта (изделия). Тогда, если -я отрасль выпускает единиц изделий, то она получит доход, равный _. Часть своего дохода, а именно

-я отрасль вынуждена будет потратить на закупку изделий других отраслей. Оставшуюся часть обозначим через . Эта часть дохода идёт на предпринимательскую прибыль и инвестиции, на выплату налогов и зарплат и т. д. Она носит название добавленной стоимости.

С учётом названных доходов и расходов уравнение баланса, выраженное в денежных единицах, примет вид:

(j = ). (1.10)

После деления на всех членов соотношения (1.10) оно запишется в следующей форме:

, где (j = ). (1.11)

Величина , равная отношению добавленной стоимости к сумме единиц выпускаемой продукции -ой отраслью, называется нормой добавленной стоимости.

Систему n скалярных уравнений (1.11) можно записать в векторно-матричной форме:

p = A^Tp + , (1.12)

гдеp , A^T , = .

Уравнение (1.12), являющееся моделью равновесных цен, имеет внешнее сходство с моделью Леонтьева (1.5). Отличие заключается в замене вектора валового выпуска x на вектор стоимости p, вектора конечного потребления y на вектор норм добавленной стоимости , а матрица A заменена на транспонированную матрицу A^T.

Модель (1.12) позволяет прогнозировать цены на продукцию отраслей, изменение цен и инфляцию, зная нормы добавленной стоимости. Для этого необходимо соотношение (1.12) преобразовать:

Ep – A^Tp = , или (E – A^T)p = .

Отсюда

p = С^T, где С^T = (E – A^T)^–1. (1.13)

Пример. Для производства железнодорожных вагонов используются ресурсы топливно-энергетической отрасли, машиностроительной и лесной промышленностей.

Пусть A^T – транспонированная матрица прямых затрат на производство единицы продукции отмеченных отраслей,  – вектор норм добавленной стоимости на единицу продукции соответственно топливно-энергетической, машиностроительной и лесной отраслей.

Необходимо определить равновесные цены продукции и изменение цен в случае увеличения нормы добавленной стоимости топливно-энергетической отрасли с 4 до 5,45 единиц.

Решение

Для определения равновесных цен воспользуемся формулой равновесных цен (1.13):

В случае изменения нормы добавленной стоимости будем иметь:

,

то есть продукция первой отрасли подорожала на 14,5 %, второй – на 3,5 %, третьей – на 4,17 %.

51. Модель международной торговли. (модель обмена)

Оптимальной моделью обмена является модель, которая позволяет торгующим между собой странам обеспечить взаимную выгоду. Для международной торговли это означает отсутствие значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран.

Рассмотрим общий случай, когда торговлю между собой осуществляют n- стран, причем -я страна выделяет на приобретение товаров, в том числе и внутри страны, сумму , составляющую ее бюджет.

Пусть – доля госбюджета, которую -я страна тратит на закупки товаров -й страны. Тогда после подведения итогов торговли за год -я страна получит выручку:

(1.14)

или в векторно-матричной форме

p = Ax,

где А матрица долей госбюджета, идущих на покупку товаров;

р – вектор-столбец выручек;

х – вектор-столбец бюджетов стран.

Заметим, что сумма элементов матрицы А в каждом столбце равна единице:

(1.15)

Утверждение. Условием бездефицитной торговли является выполнение равенства:

р = х или Ах = х, то есть (1.16)

Доказательство.Предположим,что для некоторого -го государства справедливо неравенство ( ). Запишем условие (1.16) с учетом предположения:

;

;

……………………………………….

……………………………………….

Сложив все равенства и одно неравенство, получим:

.

Так как суммы в скобке в соответствии с (1.15) равны единице, то получим противоречивое неравенство:

.

Значит, наше предположение неверно. Аналогично в случае получим: .

Следовательно, доказательство завершено. Другими словами, условие сбалансированной (бездефицитной) торговли означает, что для каждой страны ее бюджет должен быть равен выручке от торговли.

Уравнение (1.16) означает, что собственный вектор структурной матрицы А, соответствующий собственному значению λ = 1, имеет своими компонентами бюджеты стран, осуществляющих бездефицитную международную торговлю.

Переписав уравнение (1.16) в виде

(А – Е)х = 0, (1.17)

получим уравнение, позволяющее определить вектор х соответствующий λ = 1.