Сложение гармонических колебаний

        Если колебательная система одновременно участвует в двух (или более) независимых колебательных движениях, возникает задача - найти результирующее колебание. В случае однонаправленных колебаний под этим понимается нахождение уравнения результирующего колебания; в случае взаимно перпендикулярных колебаний - нахождение траектории результирующего колебания.

Метод векторных диаграмм

        Рассмотрим вращающийся против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью  вектор А. Очевидно, что угол  = t + _ где _ - начальный угол.

        Проекции вектора А на оси координат запишутся:

        Видно, что проекции вращающегося вектора на оси координат по форме совпадают с уравнением гармонических колебаний, если угловой скорости вектора сопоставить угловую частоту колебаний, а начальному углу - начальную фазу.

        Проводя аналогию дальше, можно сказать, что результат сложения двух однонаправленных колебаний можно получить следующим путем: необходимо сложить два вектора, а проекции суммарного вектора на оси координат будут являться уравнениями результирующего колебания. Рассмотрим этот метод на примере сложения двух колебаний с произвольными частотами. Пусть наше тело участвует в двух совпадающих по направлению колебаниях:

        Сопоставим этим колебаниям два вектора А₁ и А₂, вращающихся с соответствующими угловыми скоростями.

        Сопоставляем колебаниям проекции векторов на ось y. Задача сложения колебаний сводится к нахождению проекции вектора А на ось y (амплитуда результирующего колебания) и угла  (фаза результирующего колебания).

        Из очевидных геометрических соображений находим:

        Отметим, что в общем случае сложения колебаний с разными частотами амплитуда результирующего колебания будет зависеть от времени. Если же частоты одинаковы, то , то есть зависимость от времени исчезает. На языке векторной диаграммы это означает, что складываемые векторы при своем вращении не меняют своего относительного положения. В этом случае формулы для амплитуды и фазы результирующего колебания запишутся так:

        Рассмотрим сложение двух однонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами, то есть , и пусть для определенности  . Для простоты пусть начальные фазы и амплитуды этих колебаний равны. В результате сложения двух колебаний

получим уравнение суммарного колебания:

        Полученное результирующее колебание не является гармоническим (сравни с уравнением (1)); такого вида колебания носят название биений, название понятно, если посмотреть на график колебаний.

        посмотреть на осциллографе

        Величина, стоящая перед синусом, меняется со временем относительно медленно, так как разность частот мала. Эту величину условно называют амплитудой биений, а разность складываемых частот   - частотой биений (циклической).

        При сложении взаимно перпендикулярных колебаний необходимо найти уравнение траектории тела, то есть из уравнений колебаний типа x = x(t), y = y(t) исключить t и получить зависимость типа y(x).

например, сложим два колебания с одинаковыми частотами:

исключив время, получим:

        В общем случае это - уравнение эллипса. При A₁=A₂ - окружность, при   (m - целое) - отрезок прямой.

        Вид траектории при сложении взаимно перпендикулярных колебаний зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Получающиеся кривые носят название фигур Лиссажу.

9. Основные характеристики волновых процессов. Виды волн (плоские, сферические, цилиндрические). Суперпозиция волн. Когерентность. Интерференция. Стоячие волны.

Волна – процесс распространения гармонических колебаний в упругой среде.

Источники колебания:

1. Точечные

2. Линейные

3. Трёхмерные

Упругая среда – её частицы связаны упругими силами. Параметры упругой среды (k-жесткость и m) могут быть сосредоточены в узлах (m) и междоузлах (k)

Смещение частицы в точке (1) S₁=Acosωt₁ (1 – точечный источник колебаний)

в точке (2) S₂=Acosωt₂ t₂=t₁-x/v

S₂=Acosω(t₁-x/v)=Acos2π(t₁/T-x/λ)=Acos(ωt-k_xX) (k_x=2π/x=ω/v – волновое число вдоль икса) (1/м)

Длина волны расстояние, пройдённое за период. λ=V/ню=VT

Волновой вектор (K) всегда направлен перпендикулярно волновому фронту. k= 2π/λ= =k_xi+k_yj+k_zk, для волны в произвольном виде имеем: S=Acos(ωt-kr)

Волновой фронт – волновая поверхность, которая разделяет области, где есть колебания частиц среды и области, где их нет.

По форме волны:

1) Сферические (с точечным источником)

2) Цилиндрические (с линейным источником)

3) Плоские (от ∞-далёкого источника)

Законы движения: плоской волны S=Acos(ωt- )

сферической волны S( ,t)=(a/r)cos(ωt- )

цилиндрической волны S( ,t)=(a/sqrt(r))cos(ωt- )

Монохроматическая волна – волна с постоянными во времени частотой, амплитудой и начальной фазой и с одним волновым вектором

Волновая поверхность – на ней фаза волны постоянна (геометрическое место точек, испытывающих возмущение обобщенной координаты в одинаковой фазе)

Суперпозиция – независимое сложение волн без взаимных искажений в линейной упругой среде. (Линейная среда – в ней результат действия волны (смещение частиц среды) пропорционален амплитуде волны)

Когерентность – согласованность волн по фазе (φ₁-φ₂=const)

Интерференция – суперпозиция когерентных волн, сопровождается перераспределением интенсивности волн в пространстве (сопровождается появлениям max и min интерференции)

A²=A₁²+A₂² + 2A₁A₂cos(φ₁ - φ₂)

Суммарная интенсивность

I=I₁+I₂+2sqrt(I₁I₂)cos(φ₁ - φ₂)

При суперпозиции без интерференции

I= I₁+I₂

Суперпозиция при интерференции

а) максимум интерференции I=I₁+I₂+2sqrt(I₁I₂);

б) минимум интерференции I=I₁+I₂ - 2sqrt(I₁I₂) Когерентность – согласованность волн по фазе.

Стоячая волна - частный случай интерференции двух одинаковых встречных волн

S₁ по ОХ, S₂ против ОХ S₁=Acos (ωt-k_xx+φ₁)

S₂=Acos (ωt+k_xx+φ₂)

S= S₁+S₂= 2Acos(-k_xx+(φ₁-φ₂)/2)*cos(ωt+(φ₁+φ₂)/2)

S=2Acosk_xxcosωt – это не волна, а гармонические колебания с частотой ω и амплитудой А. Не переносит энергию в пространстве, как бегущая волна.

Узлы и пучности. Анализ стоячей волны по х.

а) для пучностей A(x)=2A=A_max

x_пуч=2πλ/4 б) для узлов A(x)=A_min=0 x_узлов=(n+1/2)λ/2=(2n+1)λ/4 Анализ стоячей волны по t

a) при t=0 cosωt=1

S=2Acosk_xx

Пучность на стенке получается, если стенка из более «слабого» материала, узел на стенке – если материал «сильнее»

б) t=T/4, ω=2π/T, cosωt=0

в) t=T/2

cosωt=-1

д)t=T

Соотношения между разностью хода и Δφ

Δφ=kΔx=(2π/λ)Δx

10. Волновое уравнение. Соотношение неопределённостей для волновых процессов. Групповая и фазовая скорости волн.

Волна – процесс распространения гармонических колебаний в упругой среде.

Упругая среда – её частицы связаны упругими силами. Параметры упругой среды (k-жесткость и m) могут быть сосредоточены в узлах (m) и междоузлах (k)

Уравнение в частных производных второго порядка, линейное, однородное.

Получили его с помощью закона плоской волны.

+ + = (1/v²)* (v – фазовая скорость)

В результате дифференцирования закона движения:

+ + = -Ak²cos(ωt-kr) (k=ω²/v² )

+ + =( + + )S=ΔS=(1/v²)*δ²S/δt^{2 (}Δ= оператор Лапласа)

Групповая скорость волн - Волновой пакет - Сумма монохроматических компонент:

S(x,t) =

Скорость середины волнового пакета x_­­­₀ = групповая скорость. При х=х₀ – синфазность всех монохроматических составляющих пакета.

φ=ωt-k_xx (k=ω/v=2π/λ) (условие максимума волнового пакета)

dφ/dk=0=(dω/dk)t-x₀

x₀=(dω/dk)t=U(t), где U=dω/dk – групповая скорость

ΔS=(1/v_фаз²)*δ²S/δt²

Соотношение неопределённостей для волновых процессов.

Для любого х волнового пакета (за исключением х₀) Δφ компонент пакета должен быть меньше π (при Δφ=π компоненты уничтожат друг друга, т.к. они противофазны)

Δφ=(dφ/dk)Δk ≤π

dφ/dk=d(ωt+k_xx)/dk=(dω/dk)t-x=x₀-x

Δφ=(dφ/dk)Δk=(x₀-x)Δk ≤π

при 2(x₀-x)=Δx будем иметь

ΔxΔk_x меньше или = 2π const (первое соотношение неопределённостей Δx и Δk_x)

Следствия:

1) В узком пакете (Δх мало) набор волновых чисел Δk большой.

2) При уменьшении Δk (возрастание монохроматичности волн пакета) Δх возрастает. при (Δk→0 Δх→∞) монохроматическая волна бесконечна в пространстве.

Аналогично получаем второе соотношение неопределённостей.

ΔωΔt ≤2π

(из Δφ=(dφ/dω)Δω ≤π )

2(t-t₀)Δω ≤2π

Следствие:

При возрастании монохроматичности волнового пакета (Δω→0) имеем Δt→∞ (монохроматическая волна бесконечна во времени).

Соотношение групповой (U) и фазовой (v_фаз) скоростей.

U= = =-λ² )

v/λ=ню=λ²((1/λ²)v_φ-(1/λ)(dv_φ/dλ))

U=v₀-λ(dv_φ/dλ)

таким образом, U>v_φ при (dv_φ/dλ)<0 и наоборот (dv_φ/dλ – дисперсия (зависимость фазовой скорости волн от частоты или длины волны)).

11. Молекулярная физика. Термодинамический и статистический методы молекулярной физики.

Молекулярная физика изучает молекулярные системы, состоящие из большого числа молекул, которые находятся в тепловом движении (хаотическое движение молекул под действием температуры)

Два метода:

1) Термодинамический.

Опытным путём находят соотношения между макропараметрами молекул. Системы:

P, V, T. f(P,V,T)=0 уравнение состояния молекулярной системы.

(графики P(V), P(T)) (p – давление, v – объём, T – абсолютная температура)

В термодинамическом методе не учитывается внутренняя структура молекул системы.

ТД метод изучает взаимопревращения тепла и механической работы вблизи равновесия.

3 главных закона:

-уравнение состояния Уравне́ние состоя́ния — уравнение, связывающее между собой термодинамические (макроскопические) параметры системы, такие, как температура, давление, объём, химический потенциал и др.

-1 закон термодинамики Изменение внутренней энергии системы при ее переходе из одного состояния в другое равно сумме количества теплоты, подведенного к системе извне, и работы внешних сил, действующих на нее:

-2 закон термодинамики

все самопроизвольные процессы в природе идут с увеличением энтропии. (Энтропия - мера хаотичности, неупорядоченности системы).

2) Статистический.

Изучает связь между макропараметрами (P,V,T) и свойствами отдельных молекул со структурой системы.

Основан на теории вероятностей, использует понятия средней и наивероятной скорости молекул + функции распределения молекул системы по разным динамическим величинам (v,p(векторные),E…) + понятие вероятностей наблюдения физических величин.

Простейшее уравнение – основное уравнение МКТ.

где р - давление, m₀ - масса молекулы, п - концентрация (число молекул в единице объема), v² - средний квадрат скорости молекул. 

13. Распределение Больцмана и Максвелла-Больцмана.

Распределение Больцмана – распределение по энергиям частиц (атомов, молекул) идеального газа в условиях термодинамического равновесия было открыто в 1868–1871 гг. австрийским физиком Л. Больцманом. В присутствии гравитационного поля (или, в общем случае, любого потенциального поля) на молекулы газа действует сила тяжести. В результате, концентрация молекул газа оказывается зависящей от высоты:

где n – концентрация молекул на высоте h, n₀ – концентрация молекул на начальном уровне h = 0, m – масса частиц, g – ускорение свободного падения, k – постоянная Больцмана, T – температура. Закон Максвелла даёт распределение частиц по значениям кинетической энергии, а закон Больцмана – распределение частиц по значениям потенциальной энергии. Оба распределения можно объединить в единый закон Максвелла – Больцмана:

.

Здесь n₀ – число молекул в единице объёма в той точке, где U = 0, E = U+K – полная энергия. 

Распределение Максвелла-Больцмана – функция распределения по импульсам p и координатам r частиц идеального газа.

f(p,r)=A*exp(-(p²/2m+U(r))/(kT))

p²/2m – E_k частицы с массой m, U(r) – её E_p, T – температура газа, A – из условия нормировки

Частным случаем распределения Больцмана (при U(r)=0) является распределение Максвелла по скоростям. Можем сказать, что Распределение Больцмана – функция Максвелла -Больцамана, проинтегрированная по всем импульсам частиц. Она характеризует плотность числа частиц в точке r.

14. Понятие о статистическом методе. Макро- и микросостояния термодинамической системы. Фазовое пространство. Статистический вес макросостояния. Статистический смысл энтропии термодинамической системы.

Поскольку физические тела состоят из огромного множества чрезвычайно мелких частиц, которые притом находятся в чрезвычайно быстром движении, лишь в редких случаях, при помощи особых приспособлений, физик имеет возможность следить за движением какой-нибудь определённой частицы. Помимо этих случаев, вопросы о движении мельчайших частиц в физических телах приходится разрешать на основании математического метода - так называемого статистического метода. Статистический метод применяется вообще к изучению "массовых" явлений, т.е. таких явлений, которые представляют собой совокупность множества более простых "индивидуальных" явлений, причём эти индивидуальные явления сходны по своим качествам и независимы друг от друга.

Статистический метод выражает свойства макроскопических тел, т.е., систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц, через свойства этих частиц и взаимодействия между ними.

Состояние термодинамической системы может быть реализовано разными способами (в зависимости от плотности, давления, температуры и т.д.). Перечисленные величины определяют состояние системы в целом – её макросостояние. Однако при одной и той же плотности, температуре и т. д. частицы системы могут различными способами распределиться в пространстве и иметь различные импульсы. Каждое данное распределение частиц называется микросостоянием системы.

Фазовое пространство — пространство, на котором представлено множество всех состояний системы, так, что каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства.

Статистический вес макросостояния – число микросостояний, которые возможны в имеющемся макросостоянии.

Энтропия – функция состояния термодинамической системы.

Ω=k*ln(P)

k – постоянная Больцмана

Ω – энтропия; P – статистический вес.

  Энтропия – вероятностная статистическая величина. Утверждение о возрастании энтропии потеряло свою категоричность. Её увеличение вероятно, но не исключаются флуктуации.

       На основе этих рассуждений Р. Клаузиус в 1867 г. и выдвинул гипотезу о тепловой смерти Вселенной (о ней сказано ранее).

       Л. Больцман один из первых опроверг эту гипотезу и показал, что закон возрастания энтропии – статистический закон, т.е. возможны отклонения.