7.3. Преобразование Windows-кодирования в коды Хэмминга.

Цель преобразования - отобразить символы Windows-кодирования в коды Хэмминга, обнаруживающих и исправляющих одиночные искажения (t=1, S=1).

1.Определение минимального кодового расстояния

d=t+S+1=1+1+1=3

2.Определение общего числа элементов кодовых комбинаций Хэмминга - n.

N_p  .

Множество разрешенных кодовых комбинаций в системе Windows-кодирования составляет N_p=219, следовательно, 219  , откуда n=12.

3. Определение числа информационных элементов k.

2^k  219 k=8.

4. Определение числа проверочных элементов r.

r = n-k =12-8 = 4.

5. Построение производящей матрицы кода G_12,8 (12 столбцов, 8 строк). Для чего из состава 2^r = 2⁴ =16 проверочных комбинаций для построения производящей матрицы выбирается k=8 комбинаций с весом

pd_min-1=3-1=2.

Например: 0011, 0101, 0110, 0111, 1001, 1010, 1011, 1100 (как и для случая построения систематических кодов). Производящая матрица G_12,8 имеет вид, такой же как и для случая систематического кода.

C12,8 = 10000000 0011 01000000 0101 00100000 0110 00010000 0111 00001000 1001 00000100 1010 00000010 1011 00000001 1100

6. Построение проверочной матрицы на основании производящей матрицы G_12,8. Напоминаем, что для построения проверочной матрицы H_12,4 в первую строку вписывается первый столбец проверочных элементов производящей матрицы G_12,8, во вторую строку второй столбец и т.д. Справа ко всем строкам приписываются кортежи единичной матрицы.

H12,4= = a1a2a3a4a5a6a7a8 b1b2b3b4 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1

7.Преобразуем проверочную матрицу перераспределением ее элементов таким образом, чтобы кодовая комбинация кортежа столбца указывала в двоичной форме на номер столбца проверочной матрицы

H12,4 = e1e2 e3 e4 u1u2u3u4u5u6u7u8u9u10u11u12 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Проверочная матрица систематизирована в порядке возрастания номера столбца.

8. По построенной проверочной матрице составляется r=4 проверочных уравнений. Проверочные уравнения составляются по представлению элемента единичной матрицы (е₁, е₂, е₃, е₄) в виде сумм по модулю 2 элементов строк матрицы со значением 1

e₁=u₃  u₅  u₇  u₉  u₁₁

e₂=u₃  u₆  u₇  u₁₀  u₁₁

e₃=u₅  u₆  u₇  u₁₂

e₄=u₉  u₁₀  u₁₁  u₁₂

Уравнения е₁, е₂, е₃,е₄ являются кодообразующими уравнениями преобразования Windows-кодирования в коды Хэмминга.

Например для преобразования семантического алфавита символа Т из Windows-кодирования в код Хэмминга необходимо определить проверочные элементы е₁, е₂, е₃, е₄ и составить кодовую комбинацию Хэмминга.

Так символ Т в Windows-кодировании определен как Т11010010, в этом случае u₃=1, u₅=1, u₆=0, u₇=1, u₉=0, u₁₀=0, u₁₁=1, u₁₂=0, u₁=e₁, u₂=e₂, u₄=e₃,u₈=e₄.

e₁=1  1  1  0  1=0

e₂=1  0  1  0  1=1

e₃=1  0  1  0=0

e₄=0  0  1  0=1

Преобразованная кодовая комбинация символа Т из Windows-кодирования в код Хэмминга имеет вид

Tu₁u₂u₃u₄u₅u₆u₇u₈u₉u₁₀u₁₁u₁₂011010110010.

Таким образом преобразование семантического символа имеет вид:

Т11010010011010110010.

Декодирование кодовых комбинаций и исправление искажений происходит по следующим уравнениям (для случая Windows-кодирование - код Хэмминга):

e =u₁  u₃  u₅  u₇  u₉  u₁₁

e =u₂  u₃  u₆  u₇  u₁₀  u₁₁

e =u₄  u₅  u₆ u₇  u₁₂

e =u₈  u₉  u₁₀  u₁₁  u₁₂

Например при передаче символа Т в третьем разряде произошло искажение и кодовая комбинация принята в виде Т=011010110110

e₁ e₂ e₃ e₄

T=u₁ u₂ u₃ u₄ u₅ u₆ u₇ u₈ u₉ u₁₀ u₁₁ u₁₂

0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0

e =0  1  1  1  0  1=0

e =1  1  0  1  1  1=1

e =0  1  0  1  0=0

e =1  0  1  1  0=1

В этом случае синдром равен 1010  10, т.е. в десятичной системе счисления синдром равен 10, что указывает на искажение десятого элемента принятой кодовой комбинации. Заменяя значение десятого элемента принятой кодовой комбинации 1 на 0 , получают исправленную кодовую комбинацию Т=011010110010, т.е. восстанавливают без искажений на приемной стороне переданную кодовую комбинацию.

7.4. Преобразование Windows-кодирования в циклические коды. Например, построим кодовую комбинацию циклического кода F(x) с числом информационных элементов k=8 (число элементов Windows-кода для кодирования одного элемента семантического алфавита, исправляющего одиночные искажения (S=1).

1.Определение общего числа элементов кодовых комбинаций циклических кодов N_p 219 , откуда n=12.

2. Определение числа проверочных элементов r=n-k=12-8=4.

Следовательно, степень образующего многочлена (P(x)) равна 4.

3.В качестве образующего многочлена выбирают один из неприводимых многочленов, например P(x)=x⁴+x+1.

Для примера из системы Windows-кодирования в качестве преобразуемой кодовой комбинации Q(x) взята кодовая комбинация, отображающая символ Т русского алфавита (Q(x)=11010010x⁷+x⁶+x⁴+x.

5. Определяем произведение Q(x)x^r.

Q(x)x^r=(x⁷+x⁶+x⁴+x)x⁴=x¹¹+x¹⁰+x⁸+x⁵

6. Определение частного G(x) и остатка R(x)

G(x)+R(x)= = =x⁷+x⁶+x²+x (x³+x)

Следовательно, G(x)=x⁷+x⁶+x²+x, R(x)=x³+x.

7. Определение кодового многочлена F(x).

F(x)=Q(x)x^r+R(x)=(x¹¹+x¹⁰+x⁸+x⁵)+(x³+x)=x¹¹+x¹⁰+x⁸+x⁵+x³+x=

=110100101010.

Где: 11010010 - информационные элементы преобразованного Windows-кода символа Т в циклический код.

1010 - проверочные элементы циклического кода символа Т.

Остальные кодовые комбинации циклического кода отображают кодовые комбинации Windows-кодирования по тому же алгоритму преобразования, что и для символа Т (пункты 4, 5, 6, 7).

Произведем проверку полученной кодовой комбинации на возможность исправления ошибок.. Допустим, произошло искажение при передаче по линии связи кода Т  110100101010 в четвертом разряде и принят код Т  110100100010.

1. Разделим принятую искаженную кодовую комбинацию на образующий многочлен P(x)=x⁴+x+110011

110100100010 10011

10011

10010

10011

11000

10011

10111

10011

1000  остаток.

Сравнивается вес остатка (р=1) с числом исправляемых искажений (S=1), p=S, условие pS выполняется.

4. Производится суммирование по модулю 2 делимого 110100100010 с остатком 1000, получают комбинацию

110100100010



1000

110100101010

Получили исправленную кодовую комбинацию.

Общий вид такого исправления может быть отображен в следующей форме

Передаваемый Передаваемый Принятый Восстановленный

символ код код код

Т 110100101010 110100100010 110100101010.