5.5.5. Вычисление композиций точек удвоения

[U₂]К_ОА =[226]К_ОА = [128]К_ОА + [64]К_ОА + [32]К_ОА + [2]К_ОА; заданной эллиптической кривой.

5.5.5.1. Вычисление композиции точек [128]коа и [64]коа;

[128]К_ОА + [64]К_ОА = [192]К_ОА = (X₁₉₂; Y₁₉₂) .

([128]К_ОА = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (X₁₂₈ =206; Y₁₂₈ =39); [64]К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) =

(X₆₄ =156; Y₆₄ =125)).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [128]К_ОА и [64]К_ОА заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= -86 * 50^-1 mod 293 = -86 * 50²⁹¹ mod 293 = -4300 mod 293 =

- 198 mod 293 = (293-198) mod 293 = 95 mod 293 → 95, т.е. к = 95.

- Вычисляются координаты точки [192]К_ОА = (X₁₉₂; Y₁₉₂):

X₁₉₂ = (к² – X₆₄ – X₁₂₈) mod P = (95² – 156 – 206) mod 293 = 8663 mod 293 =

= 166 mod 293 → 166.

Y₁₉₂ = (к * (X₁₂₈ – X₁₉₂) – Y₁₂₈) mod P = (95 * (206 – 166) – 39) mod 293 =

= 3761 mod 293 = 245 mod 293 → 245.

Следовательно, [192]К_ОА = (X₁₉₂; Y₁₉₂) = (166; 245), координаты точки [192]К_ОА определены как X₁₉₂ = 166; Y₁₉₂ = 245.

5.5.5.2. Вычисление композиции точек [192]коа и [32]коа;

[192]К_ОА + [32]К_ОА = [224]К_ОА = (X₂₂₄; Y₂₂₄) .

([192]К_ОА = (X₁₉₂; Y₁₉₂) = (X₁₉₂ =166; Y₁₉₂ =245); [32]К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) =

(X₃₂ =30; Y₃₂ =276)).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [192]К_ОА и [32]К_ОА заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= -31 * 136^-1 mod 293 = -31 * 136²⁹¹ mod 293 = - 31* 265 mod 293 =

= -8215 mod 293 = - 11 mod 293 = (293-11) mod 293 = 282 mod 293 → 282, т.е. к = 282.

- Вычисляются координаты точки [224]К_ОА = (X₂₂₄; Y₂₂₄):

X₂₂₄ = (к² – X₃₂ – X₁₉₂) mod P = (282² – 30 – 166) mod 293 =

= 79524 -30 – 166 mod 293 = 79328 mod 293 = 218 mod 293 → 218.

Y₂₂₄ = (к * (X₃₂ – X₂₂₄) – Y₃₂) mod P = (282 * (30 – 218) – 276) mod 293 =

= - 53292 mod 293 = - 259 mod 293 = (293 – 259) mod 293 = 34 mod 293 → 34.

Следовательно, [224]К_ОА = (X₂₂₄; Y₂₂₄) = (218; 34), координаты точки [224]К_ОА определены как X₂₂₄ = 218; Y₂₂₄ = 34.

5.5.5.3. Вычисление композиции точек [224]коа и [2]коа;

[224]К_ОА + [2]К_ОА = [226]К_ОА = (X₂₂₆; Y₂₂₆) .

([224]К_ОА = (X₂₂₄; Y₂₂₄) = (X₂₂₄ =218; Y₂₂₄ =34); [2]К_ОА = (X₂; Y₂) =

(X₂ =226; Y₂ =72)).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [224]К_ОА и [2]К_ОА заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 38 * 8^-1 mod 293 = 38 * 8²⁹¹ mod 293 = 38* 110 mod 293 =

= 4180 mod 293 = 78 mod 293 → 78, т.е. к = 78.

- Вычисляются координаты точки [226]К_ОА = (X₂₂₆; Y₂₂₆):

X₂₂₆ = (к² – X₂ – X₂₂₄) mod P = (78² – 226 – 218) mod 293 =

= 5640 mod 293 = 73 mod 293 → 73.

Y₂₂₆ = (к * (X₂ – X₂₂₆) – Y₂) mod P = (78 * (226 – 218) – 72) mod 293 =

= 552 mod 293 = 259 mod 293 = 259 mod 293 → 259.

Следовательно, [226]К_ОА = (X₂₂₆; Y₂₂₆) = (73; 259), координаты точки [226]К_ОА определены как X₂₂₆ = 73; Y₂₂₆ = 259.

5.5.5.4. Вычисление композиции точек [u1]g и [u2]коа;

Q = [U₁]G и [U₂]К_ОА =[44]G + [226] К_ОА.

(X₄₄=82; Y₄₄=137) для G; (X₂₂₆ =73; Y₂₂₆=259) для К_ОА

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [44]G и [226]К_ОА заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= -122 * 9^-1 mod 293 = -122 * 9²⁹¹ mod 293 = - 228 mod 293 =

= 65 mod 293 → 65, т.е. к = 65.

- Вычисляются координаты точки Q = (X_Q; Y_Q):

X_Q = (к² – X₄₄ – X₂₂₆) mod P = (65² – 82 – 73) mod 293 =

= 4070 mod 293 = 261 mod 293 → 261.

Y_Q = (к * (X₄₄ – X_Q) – Y₄₄) mod P = (65 * (82 – 261) – 137) mod 293 =

= - 11772 mod 293 = - 52 mod 293 = (293-52) mod 293 = 241 mod 293→ 241.

Следовательно, Q = (X_Q; Y_Q) = (261; 241), координаты точки Q определены как X_Q = 261; Y_Q = 241.