5.5.3. Вычисление композиции точек [40]g и [4]g;

[40]G + [4]G = [44]G = (X₄₄; Y₄₄) .

([40]G = (X₄₀; Y₄₀) = (X₄₀ =192; Y₄₀ =16); [4]G = (X₄; Y₄) = (X₄ =86; Y₄ =71)).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [40]G и [4]G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= -55 * 106^-1 mod 293 = -55 * 106²⁹¹ mod 293 = -55 * 47 mod 293 =

- 2585 mod 293 = -241 mod 293 = (293-241) mod 293 = 52 mod 293 → 52, т.е. к = 52.

- Вычисляются координаты точки [44]G = (X₄₄; Y₄₄):

X₄₄ = (к² – X₄ – X₄₀) mod P = (55² – 86 – 192) mod 293 = 2426 mod 293 =

= 82 mod 293 → 82.

Y₄₄ = (к * (X₄₀ – X₄₄) – Y₄₀) mod P = (52 * (192 – 82) – 16) mod 293 =

= 5704 mod 293 = 137 mod 293 → 137.

Следовательно, [44]G = (X₄₄; Y₄₄) = (82; 137), координаты точки [40]G определены как X₄₄ = 82; Y₄₄ = 137.

5.5.4. Для вычисления [U₂]К_ОА = [226]К_ОА изначально необходимо вычислить все удвоения точки К_ОА до [128]К_ОА, т.к. число 128 является максимальным числом степени 2ⁿ в составе числа 226. Значение числа 226 по числам 2ⁿ можно отобразить как 226 = 128 + 64 + 32 + 2, т.е. на первом этапе для вычисления параметра «[U₂]К_ОА = [226]К_ОА» необходимо вычислить следующие точки удвоения точки К_ОА: [2] К_ОА, [4] К_ОА, [8] К_ОА, [16] К_ОА, [32] К_ОА, [64]G, [128] К_ОА.

5.5.4.1. Вычисление координат точки [2]К_ОА заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки К_ОА = (X₁; Y₁) = (231; 165):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке К_ОА = (X₁; Y₁) = (231; 165):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 160091 * 330^-1 mod 293 = 160091 * 330²⁹¹ mod 293 = 113 * 198 mod 293 =

= 22374 mod 293 = 106 mod 293 → 106.

- вычисление координат точки [2]К_ОА = (X₂; Y₂)

X₂= (к² – 2X₁) mod P = (106² - 2*231) mod 293 = (11236 – 462) mod 293 =

= 10774 mod 293 = 226 mod 293 → 226;

Y₂ = (к * (X₁ – X₂) – Y₁) mod P = (106* (231 – 226) – 165) mod 293 =

= 365 mod 293 = 72 mod 293 → 72.

Следовательно, [2]К_ОА = (X₂; Y₂) = (226; 72), координаты точки [2]К_ОА определены как X₂ = 226; Y₂ = 72.

5.5.4.2. Вычисление координат точки [4]К_ОА заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки [2] К_ОА = (X₂; Y₂) = (226; 72):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке [2]К_ОА = (X₂; Y₂) = (226; 72):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 153236 * 144^-1 mod 293 = 290 * 144²⁹¹ mod 293 = 290 * 234 mod 293 =

= 67860 mod 293 = 177 mod 293 → 177.

- вычисление координат точки [4]К_ОА = (X₄; Y₄)

X₄= (к² – 2X₂) mod P = (177² - 2*226) mod 293 = (31329 – 452) mod 293 =

= 30877 mod 293 = 112 mod 293 → 112;

Y₄ = (к * (X₂ – X₄) – Y₂) mod P = (177* (226 – 112) – 72) mod 293 =

= 20106 mod 293 = 182 mod 293 → 182.

Следовательно, [4]К_ОА = (X₄; Y₄) = (112; 182), координаты точки [4]К_ОА определены как X₄ = 112; Y₄ = 182.

5.5.4.3. Вычисление координат точки [8]К_ОА заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки [4] К_ОА = (X₄; Y₄) = (112; 182):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке [4]К_ОА = (X₄; Y₄) = (112; 182):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 37640 * 364^-1 mod 293 = 136 * 364²⁹¹ mod 293 = 136 * 260 mod 293 =

= 35360 mod 293 = 200 mod 293 → 200.

- вычисление координат точки [8]К_ОА = (X₈; Y₈)

X₈= (к² – 2X₄) mod P = (200² - 2*112) mod 293 = (40000 – 224) mod 293 =

= 39776 mod 293 = 221 mod 293 → 221;

Y₈ = (к * (X₄ – X₈) – Y₄) mod P = (200* (112 – 221) – 182) mod 293 =

= - 21800 - 182 mod 293 = - 21982 mod 293 = - 7 mod 293 = 286 mod 293 → 286.

Следовательно, [8]К_ОА = (X₈; Y₈) = (221; 286), координаты точки [8]К_ОА определены как X₈ = 221; Y₈ = 286.

5.5.4.4. Вычисление координат точки [16]К_ОА заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки [8] К_ОА = (X₈; Y₈) = (221; 286):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке [8]К_ОА = (X₈; Y₈) = (221; 286):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 146531 * 572^-1 mod 293 = 31 * 572²⁹¹ mod 293 = 31 * 272 mod 293 =

= 8432 mod 293 = 228 mod 293 → 228.

- вычисление координат точки [16]К_ОА = (X₁₆; Y₁₆)

X₁₆= (к² – 2X₈) mod P = (228² - 2*221) mod 293 = (51984 – 442) mod 293 =

= 51542 mod 293 = 267 mod 293 → 267;

Y₁₆ = (к * (X₈ – X₁₆) – Y₈) mod P = (228* (221 – 267) – 286) mod 293 =

= - 10488 - 286 mod 293 = - 10774 mod 293 = - 226 mod 293 =

= (293 – 226) mod 293 = 67 mod 293 → 67.

Следовательно, [16]К_ОА = (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67), координаты точки [16]К_ОА определены как X₁₆ = 267; Y₁₆ = 67.

5.5.4.5. Вычисление координат точки [32]К_ОА заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки [16] К_ОА = (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке [16]К_ОА = (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 213875 * 134^-1 mod 293 = 278 * 134²⁹¹ mod 293 = 278 * 164 mod 293 =

= 45592 mod 293 = 177 mod 293 → 177.

- вычисление координат точки [32]К_ОА = (X₃₂; Y₃₂)

X₃₂= (к² – 2X₁₆) mod P = (177² - 2*267) mod 293 = (31329 – 534) mod 293 =

= 30795 mod 293 = 30 mod 293 → 30;

Y₃₂ = (к * (X₁₆ – X₃₂) – Y₁₆) mod P = (177* (267 – 30) – 67) mod 293 =

= 41882 mod 293 = 276 mod 293 → 276.

Следовательно, [32]К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276), координаты точки [32]К_ОА определены как X₃₂ = 30; Y₁₆ = 276.

5.5.4.6. Вычисление координат точки [64]К_ОА заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки [32] К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке [32]К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 2708 * 552^-1 mod 293 = 2708 * 552²⁹¹ mod 293 = 71* 112 mod 293 =

= 7952 mod 293 = 41 mod 293 → 41.

- вычисление координат точки [64]К_ОА = (X₆₄; Y₆₄)

X₆₄= (к² – 2X₃₂) mod P = (41² - 2*30) mod 293 = (1681 – 60) mod 293 =

= 1621 mod 293 = 156 mod 293 → 156;

Y₆₄ = (к * (X₃₂ – X₆₄) – Y₃₂) mod P = (41* (30 – 156) – 276) mod 293 =

= - 5442 mod 293 = -168 mod 293 = (293-168) mod 293 → 125.

Следовательно, [64]К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) = (156; 125), координаты точки [64]К_ОА определены как X₆₄ = 156; Y₆₄ = 125.

5.5.4.7. Вычисление координат точки [128]К_ОА заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки [64] К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) = (156; 125):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке [64]К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) = (156; 125):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 73016 * 250^-1 mod 293 = 59 * 250²⁹¹ mod 293 = 59* 109 mod 293 =

= 6431 mod 293 = 278 mod 293 → 278.

- вычисление координат точки [128]К_ОА = (X₁₂₈; Y₁₂₈)

X₁₂₈= (к² – 2X₆₄) mod P = (278² - 2*156) mod 293 = (77284 – 312) mod 293 =

= 76972 mod 293 = 206 mod 293 → 206;

Y₁₂₈ = (к * (X₆₄ – X₁₂₈) – Y₆₄) mod P = (278* (156 – 206) – 125) mod 293 =

= - 14025 mod 293 = -254 mod 293 = (293-254) mod 293 = 39 mod 293 → 39.

Следовательно, [128]К_ОА = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (206; 39), координаты точки [128]К_ОА определены как X₁₂₈ = 206; Y₁₂₈ = 39.