4.3.2. Вычисление композиций точек удвоения [256]g; [64]g; [16]g; [8]g; [2]g; g заданной эллиптической кривой.

Для вычисления параметра «N» ( N = [К]G = [347]G = G + [2]G + [8]G + [16]G + [64]G + [256]G) при формировании ЭЦП абонент «А» выполняет ряд последовательных операций с полученным множеством точек удвоения генераторной точки G.

4.3.2.1. Вычисление композиции точек [256]G и [64]G; [256]G + [64]G = [320]G = (X₃₂₀; Y₃₂₀) . ([256]G = (X₂₅₆; Y₂₅₆) = (X₂₅₆ =3; Y₂₅₆ =39); [64]G = (X₆₄; Y₆₄) = (X₆₄ =94; Y₆₄ =10)).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [256]G и [64]G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = 156 * 75^-1 mod 293 =

= 156 * 75²⁹¹ mod 293 = 156 * 168 mod 293 = 26208 mod 293 = 131 mod 293 → 131, т.е. к = 131.

- Вычисляются координаты точки [320]G = (X₃₂₀; Y₃₂₀):

X₃₂₀ = (к² – X₆₄ – X₂₅₆) mod P = (131² – 195 – 39) mod 293 = (17161 – 195 – 39) mod 293 = 16927 mod 293 = 226 mod 293 → 226.

Y₃₂₀ = (к * (X₂₅₆ – X₃₂₀) – Y₂₅₆) mod P = (131* (3 – 226) – 39) =

- 29252 mod 293 = -245 mod 293 = (293 – 245) mod 293 = 48 mod 293 → 48.

Следовательно, [320]G = (X₃₂₀; Y₃₂₀) = (226; 48), координаты точки [320]G определены как X₃₂₀ = 226; Y₃₂₀ = 48.

4.3.2.2. Вычисление композиции точек [320]G и [16]G; [320]G + [16]G = [336]G = (X₃₃₆; Y₃₃₆) . ([320]G = (X₃₂₀; Y₃₂₀) = (X₃₂₀ =226; Y₃₂₀ =48); [16]G = (X₁₆; Y₁₆) = (X₁₆ =28; Y₁₆ =237)).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [320]G и [16]G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = - 189 * 198^-1 mod 293 =

= -189 * 198²⁹¹ mod 293 = -189 * 37 mod 293 = - 6993 mod 293 =

-254 mod 293 = (293-254) mod 293 = 39 mod 293 → 39, т.е. к = 39.

- Вычисляются координаты точки [336]G = (X₃₃₆; Y₃₃₆):

X₃₃₆ = (к² – X₁₆ – X₃₂₀) mod P = (39² – 28 – 228) mod 293 = 1265 mod 293 =

93 mod 293 → 93.

Y₃₃₆ = (к * (X₃₂₀ – X₃₃₆) – Y₃₂₀) mod P = (39 * (226 – 93) – 48) mod 293 =

5139 mod 293 = 158 mod 293 → 158.

Следовательно, [336]G = (X₃₃₆; Y₃₃₆) = (93; 158), координаты точки [336]G определены как X₃₃₆ = 93; Y₃₃₆ = 158.

4.3.2.3. Вычисление композиции точек [336]g и [8]g;

[336]G + [8]G = [344]G = (X₃₄₄; Y₃₄₄) . ([336]G = (X₃₃₆; Y₃₆) = (X₃₃₆ =93; Y₃₃₆ =158); [8]G = (X₈; Y₈) = (X₈ =84; Y₈ =254)).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [336]G и [8]G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 = - 96 * 9^-1 mod 293 =

= -96 * 9²⁹¹ mod 293 = -96 * 228 mod 293 = - 21888 mod 293 =

= -206 mod 293 = (293-206) mod 293 = 87 mod 293 → 87, т.е. к = 87.

- Вычисляются координаты точки [344]G = (X₃₄₄; Y₃₄₄):

X₃₄₄ = (к² – X₈ – X₃₃₆) mod P = (87² – 84 – 93) mod 293 = 7392 mod 293 =

= 67 mod 293 → 67.

Y₃₄₄ = (к * (X₃₃₆ – X₃₄₄) – Y₃₃₆) mod P = (87 * (93 – 67) – 158) mod 293 =

= 2104 mod 293 = 53 mod 293 → 53.

Следовательно, [344]G = (X₃₄₄; Y₃₄₄) = (67; 53), координаты точки [344]G определены как X₃₄₄ = 67; Y₃₄₄ = 53.

4.3.2.4. Вычисление композиции точек [344]g и [2]g;

[344]G + [2]G = [346]G = (X₃₄₆; Y₃₄₆) .

([344]G = (X₃₄₄; Y₃₄₄) = (X₃₄₄ =67; Y₃₄₄ =53); [2]G = (X₂; Y₂) = (X₂ =292;

Y₂ =276)).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [344]G и [2]G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 223 * 225^-1 mod 293 = 223 * 225²⁹¹ mod 293 = 223 * 56 mod 293 =

= 12488 mod 293 = 182 mod 293 → 182, т.е. к = 182.

- Вычисляются координаты точки [346]G = (X₃₄₆; Y₃₄₆):

X₃₄₆ = (к² – X₂ – X₃₄₄) mod P = (182² – 292 – 67) mod 293 = 32765 mod 293 =

= 242 mod 293 → 242.

Y₃₄₆ = (к * (X₃₄₄ – X₃₄₆) – Y₃₄₄) mod P = (182 * (67 – 242) – 53) mod 293 =

= -31903 mod 293 = - 259 mod 293 = (293-259) mod 293 = 34 mod 293 → 34.

Следовательно, [346]G = (X₃₄₆; Y₃₄₆) = (242; 34), координаты точки [346]G определены как X₃₄₆ = 242; Y₃₄₆ = 34.