4. Действие абонента-отправителя (абонента «а») по формированию электронной цифровой подписи электронного сообщения «м».

Как и для случая формирования криптограмм открытого сообщения «М» считается, что параметры эллиптической кривой «а», «b» и модуль «Р» заданы. Для выполнения операции постановки электронной цифровой подписи и аутентификации принимаемых сообщений каждый участник электронного обмена на своем рабочем компьютере формируют секретные и открытые ключи. После чего абонент-отправитель с помощью своего закрытого (секретного) ключа формирует ЭЦП передаваемого электронного сообщения. Проверка подлинности (аутентификация) электронного сообщения осуществляется абонентом «В» с помощью открытого ключа абонента-отправителя «А».

Для формирования электронной цифровой подписи необходимо:

4.1. Изначально вычислить числовое значение функции хеширования h_В(M) передаваемого сообщения «М» (ГОСТ Р34.11-94). Для примера в качестве сообщения «М» задается слово «Криптон», функция хеширования слова «Криптон» имеет вид:

h_В(M) → { 52 48 52 48 50 42 46 46 40 56 48 48 50 54 46 42 52 56 56 52 50 50 50 50 44 52 48 48 54 50 46 42}.

4.2. Для составления криптограммы числовых значений функции хеширования h_В(M) абонент-отправитель задает случайным образом целое положительное число «К» при соблюдении следующих ограничений 1 < К < Р (для примера принимается значение К=347) и НОД (К; (Р-1)) = 1. Принимаются (для примера) следующие значения параметров эллиптической кривой:

Р =293; а = 8; b = 5

4.3. Вычисляется параметр N = [К]G = [347]G = (X_N; Y_N). N = [347]G = [347](18;11).

4.3.1. Вычисляется множество точек удвоения заданной эллиптической кривой.

Для вычисления N изначально необходимо вычислить все удвоения точки G до [256]G, т.к. число 256 является максимальным числом степени 2ⁿ в составе числа 347 (К = 347). Значение числа К =347 числам 2ⁿ можно отобразить как 347 = 256 + 64 + 16 + 8 + 2 + 1, т.е. на первом этапе для вычисления параметра «К» необходимо вычислить следующие точки удвоения точки G: [2]G, [8]G, [16]G, [64]G, [256]G.

После вычисления множеств удвоений генераторной точки G необходимо значение их композиции. Если N = 347, то максимальный нижний предел по степени 2ⁿ = 2⁸, т.е. n = 8; 2⁸ ≤ 347; 256 ≤ 347. Следовательно:

N = [К]G = [347]G = G + [2]G + [8]G + [16]G + [64]G + [256]G, т.е. композиция чисел, определяющих значение N = [347]G, будет включать в себя значение G + [2]G + [8]G + [16]G + [64]G + [256]G. Указанные значения удвоений генераторной точки G были вычислены в разделе 3.1:

G(X₁; Y₁) = G(18;11); [2]G = (X₂; Y₂) = (292; 276); [4]G = (X₄; Y₄) = (86; 71);

[8]G = (X₈; Y₈) = (84; 254); [16]G = (X₁₆; Y₁₆) = (28; 237); [32]G = (X₃₂; Y₃₂) = (243; 3); [64]G = (X₆₄; Y₆₄) = (78; 195); [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (94; 10).

Указанное множество необходимо дополнить значение точки [256]G для вычисления композиции, отображающей значение точки N = [347]G, т.е.

[347]G = G + [2]G + [8]G + [16]G + [64]G + [256]G.

4.3.1.1. Вычисление координат точки [256]G заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (94; 10):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (94; 10):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 26516 * 20^-1 mod 293 = 146 * 20²⁹¹ mod 293 = 146 * 44 mod 293 =

= 6424 mod 293 = 271 mod 293 → 271.

- вычисление координат точки [256]G = (X₂₅₆; Y₂₅₆)

X₂₅₆ = (K² – 2X₁₂₈) mod P = (271² - 2*94) mod 293 = (73441 – 188) mod 293 = 3 mod 293 → 3;

Y₂₅₆ = (к * (X₁₂₈ – X₂₅₆) – Y₁₂₈) mod P = (271* (94 – 3) – 10) mod 293 =

= 24651 mod 293 = 39 mod 293 → 39.

Следовательно, [256]G = (X₂₅₆; Y₂₅₆) = (3; 39), координаты точки [256]G определены как X₂₅₆ = 94; Y₂₅₆ = 10.