- •Методы защиты информации в компьютерных технологиях Москва 2011
- •1. Основные направления криптологии.
- •2. Методы криптографических преобразований с открытым ключом.
- •2.1. Алгоритм нахождения числа по модулю.
- •2.2. Вычисление обратных величин в модулярной алгебре.
- •2.3. Алгоритм операции возведения числа в степень по модулю.
- •2.4. Определение односторонней функции.
- •3. Алгоритмы формирования и функционирования криптографических систем с открытым ключом.
- •3.1. Алгоритм криптографической системы rsa (Райвест-Шамир-Адлеман).
- •3.2. Алгоритм криптографической системы на основе вычисления дискретных логарифмов в конечном поле – алгоритм Эль Гамаля.
- •3.3. Алгоритм функционирования криптографической системы на основе дискретного логарифмирования в метрике эллиптических кривых.
- •3.3.1. Основные операции криптографических преобразований в метрике эллиптических кривых.
- •3.4. Преобразование Диффи-Хеллмана в системах криптографии с открытым ключом.
- •XcxпШифратор
- •3.5. Формирование криптограмм открытых сообщений и их дешифрование с использованием методов дискретного логарифмирования в метрике эллиптических кривых.
- •4.1. Вычисление множества точек удвоения заданной эллиптической кривой.
- •4.1.3. Вычисление координат точки [8]g, как результат удвоения точки [4]g:
- •4.1.4. Вычисление координат точки [16]g , как результат удвоения точки [8]g:
- •4.1.5. Вычисление координат точки [32]g , как результат удвоения точки [16]g:
- •4.1.6. Вычисление координат точки [64]g , как результат удвоения точки [32]g:
- •4.1.7. Вычисление координат точки [128]g , как результат удвоения точки [64]g:
- •4.2. Вычисление композиций точек удвоения [4]g; [8]g; [32]g; [64]g; [128]g заданной эллиптической кривой.
- •5. Алгоритм формирования открытого ключа абонента в.
- •5.1. Вычисление множеств точек удвоения заданной эллиптической кривой.
- •5.1.3. Вычисление точки [8]g, как результат удвоения точки [4]g:
- •5.1.4. Вычисление точки [16]g , как результат удвоения точки [8]g:
- •5.1.5. Вычисление точки [32]g , как результат удвоения точки [16]g:
- •5.1.6. Вычисление точки [64]g , как результат удвоения точки [32]g:
- •5.1.7. Вычисление точки [128]g , как результат удвоения точки [64]g:
- •5.2. Вычисление композиций различных точек удвоения заданной эллиптической кривой ( [2]g; [4]g; [16]g; [32]g; [128]g ).
- •6. Вычисление парного сеансового ключа шифрования-дешифрования для абонентов а и в на основе преобразований Диффи-Хеллмана.
- •6.1. Действие абонента в.
- •6.1.1. Вычисление точки [2]коа , как результат удвоения точки коа:
- •6.2. Вычисление композиций различных точек удвоения заданной эллиптической кривой: [2]коа; [4] коа; [16] коа; [32] коа; [128]коа).
- •7. Дешифрование абонентом а криптограммы, полученной от абонента в с использованием парного секретного симметричного ключа, сформированного по методу Диффи-Хеллмана в метрике эллиптических кривых.
- •7.1. Вычисление удвоений множества точек заданной эллиптической кривой на стороне абонента «а» по значению точки ков, характеризующей открытый ключ абонента «в».
- •7.1.1. Вычисление значения удвоения точки ков – [2]ков:
- •7.2. Вычисление композиций различных точек удвоения заданной эллиптической кривой: [4]ков; [8]ков; [32]ков; [64]коа; [128]ков).
- •7. 3. Дешифрование абонентом «а» криптограммы с, полученной от абонента «в».
- •4. Алгоритмы электронной цифровой подписи.
- •4.1. Алгоритм электронной цифровой подписи rsa (Райвест-Шамир-Адлеман).
- •4.2. Алгоритм электронной цифровой подписи Эль Гамаля (egsa). Egsa (el Gamal Signature Algorithm).
- •4. 3. Алгоритм электронной цифровой подписи dsa (Digital Signature Algorithm).
- •4.4. Алгоритм электронной цифровой подписи гост р34.10-94. (Отечественный стандарт электронной цифровой подписи).
- •4.5. Алгоритм электронной цифровой подписи гост р34.10-2001. (Отечественный стандарт электронной цифровой подписи).
- •3.1. Вычисление множества точек удвоения заданной эллиптической кривой.
- •3.1.3. Вычисление координат точки [8]g, как результат удвоения точки [4]g:
- •3.1.4. Вычисление координат точки [16]g , как результат удвоения точки [8]g:
- •3.1.5. Вычисление координат точки [32]g , как результат удвоения точки [16]g:
- •3.1.6. Вычисление точки [64]g , как результат удвоения точки [32]g:
- •3.1.7. Вычисление точки [128]g , как результат удвоения точки [64]g:
- •3.2. Вычисление композиций точек удвоения [4]g; [8]g; [32]g; [64]g; [128]g заданной эллиптической кривой.
- •4. Действие абонента-отправителя (абонента «а») по формированию электронной цифровой подписи электронного сообщения «м».
- •4.3.2. Вычисление композиций точек удвоения [256]g; [64]g; [16]g; [8]g; [2]g; g заданной эллиптической кривой.
- •4.3.2.3. Вычисление композиции точек [336]g и [8]g;
- •4.3.2.4. Вычисление композиции точек [344]g и [2]g;
- •4.3.2.5. Вычисление композиции точек [346]g и g;
- •4.5. Вычисление параметра электронной цифровой подписи Si .
- •5. Действия абонента «в» по приему и аутентификации подписанного электронного сообщения «м».
- •5.5.2. Вычисление композиции точек [32]g и [8]g;
- •5.5.3. Вычисление композиции точек [40]g и [4]g;
- •5.5.5. Вычисление композиций точек удвоения
- •5.5.5.1. Вычисление композиции точек [128]коа и [64]коа;
- •5.5.5.2. Вычисление композиции точек [192]коа и [32]коа;
- •5.5.5.3. Вычисление композиции точек [224]коа и [2]коа;
- •5.5.5.4. Вычисление композиции точек [u1]g и [u2]коа;
- •5.5.5.5. Сравниваются вычисленные значения параметра «r», принятого в составе эцп от абонента-отправителя и значения абсциссы точки «q» → «xq», вычисленное абонентом получателем.
- •6. Элементы симметричных криптографических преобразований.
- •6.2. Табличное шифрование методом перестановки по ключевому слову или фразе, задающими перестановку.
- •6.3. Табличное шифрование методом двойной перестановки.
- •6.5. Шифры сложной замены.
- •7. Корректирующие коды.
- •6. 1. Блочные коды.
- •6.1.1. Систематические коды.
- •6.1.2. Корректирующие коды с обнаружением искажений, применяемые в системах передачи и обработки информации.
- •7. Windows-кодирование.
- •7.1. Преобразование Windows-кодирования - коды Грея.
- •7.2. Преобразование Windows-кодирования в систематические коды.
- •7.3. Преобразование Windows-кодирования в коды Хэмминга.
- •7.5. Преобразование Windows-кодирования в коды Боуза-Чодхури-Хоквингема (бчх).
3.1. Вычисление множества точек удвоения заданной эллиптической кривой.
Для вычисления открытого ключа абонента-отправителя сообщения «М» КОА изначально необходимо вычислить все удвоения генераторной точки «G» до [128] G, т.к. число 128 является максимальным числом степени 2n в составе числового значения закрытого ключа КЗА = 236. Значение закрытого ключа КЗА по числам 2n можно отобразить как 236 = 4 + 8 + 32 + 64 + 128, т.е. на первом этапе для вычисления открытого ключа абонента-отправителя сообщения «М» КОА = [КЗА] G = [236] G необходимо вычислить следующие точки удвоения: [4] G; [8] G; [32] G; [64] G; [128] G, а затем вычислить все композиции полученных числовых значений. Методика вычисления операций удвоения и композиций была изложена в разделе «Основные операции криптографических преобразований в метрике эллиптических кривых».
После вычисления множеств удвоения генераторной точки «G» по значению максимального нижнего предела степени 2n, т.е. n = 7 2n ≤ 236;
128 ≤ 236 определяется композиция полученного множества. Следовательно, КОА = [КЗА] G = [236] G = [4] G + [8] G + [32] G + + [64] G + [128] G.
3.1.1. Вычисление удвоения генераторной точки G (X1; Y1) = G (18; 11) → [2] G:
- Вычисляется угловой коэффициент касательной заданной эллиптической кривой ZP (a; b) : Y2 = X3 + 8*X + 5 mod 293 в генераторной точке G(X1; Y1) = G(18; 11):
K = mod P = mod 293 = mod 293 = 980 * 22-1 mod 293 = 980 * 22291 mod 293 = 980 * 40 mod 293 = 39200 mod 293 = 231 mod 293 → 231.
- Вычисляются координаты удвоения генераторной точки G - [2]G = G(X2; Y2) (координаты генераторной точки «G» определены выше G(X1; Y1) = G(18; 11)):
X2 = (K2 – 2X1) mod P = (2312 - 2*18) mod 293 = 292 mod 293 → 292;
Y2 = (K*(X1 – X2) – Y1) mod P = (231*(18 – 292) – 11) mod 293 =
= 276 mod 293 → 276.
Следовательно, [2]G = (X2; Y2) = (292; 276), координаты точки [2]G определены как X2 = 292; Y2 = 276.
3.1.2. Вычисление операции удвоения полученной точки [2]G, т.е. вычисление точки [4]G = (X4; Y4):
- вычисление углового коэффициента касательной в точке [2]G = (X2; Y2) = (292; 276)
K = mod P = mod 293 = 60 mod 293 → 60.
- вычисление координат точки [4]G = (X4; Y4)
X4 = (K2 – 2X2) mod P = (602 - 2*292) mod 293 = 86 mod 293 → 86;
Y4 = (K*(X2 – X4) – Y2) mod P = (60*(292 – 86) – 276) mod 293 =
= 71 mod 293 → 71.
Следовательно, [4]G = (X4; Y4) = (86; 71), координаты точки [4]G определены как X4 = 86; Y4 = 71.
3.1.3. Вычисление координат точки [8]g, как результат удвоения точки [4]g:
- вычисление углового коэффициента касательной в точке [4]G = (X4; Y4) = (86; 71)
K = mod P = mod 293 = mod 293 = 22196 * 142-1 mod 293 = 22196 * 142291 mod 293 = 22196 * 130 mod 293 = 221 * 130 mod 293 = 28730 mod 293 = 16 mod 293 → 16.
- вычисление координат точки [8]G = (X8; Y8)
X8 = (K2 – 2X4) mod P = (162 - 2*86) mod 293 = 84 mod 293 → 84;
Y8 = (K*(X4 – X8) – Y4) mod P = (16*(86 – 84) – 71) mod 293 =
= 254 mod 293 → 254.
Следовательно, [8]G = (X8; Y8) = (84; 254), координаты точки [8]G определены как X8 = 84; Y8 = 254.