6. Вычисление парного сеансового ключа шифрования-дешифрования для абонентов а и в на основе преобразований Диффи-Хеллмана.

6.1. Действие абонента в.

Абонент В на своем рабочем компьютере вычисляет значение секретного парного сеансового симметричного ключа шифрования-дешифрования К_АВ, используя метод Диффи-Хеллмана К_АВ = [К_ЗВ]К_ОА .

В пункте 3.3.2.4 определена точка, характеризующая открытый ключ абонента «А» К_ОА = (X₂₃₆; Y₂₃₆) = (231; 165). Численное значение открытого ключа абонента А определяется числовым значением координаты «Х» точки К_ОА, т.е. значением абсциссы Х₂₃₆ = 231 заданной эллиптической кривой, принимается значение открытого ключа абонента А равное К_ОА = 231.

Для вычисления секретного парного сеансового симметричного ключа шифрования-дешифрования между абонентами А и В на стороне абонента В выполняются операции вычислений всех удвоений точки К_ОА=G₂₃₆ вплоть до [128]К_ОА, т.к. число 128 является максимальным по показателю 2ⁿ в составе чисел до 182 (К_ЗВ = 182 – закрытый ключ абонента «В»; К_ОА = G₂₃₆ =(231; 165) – открытый ключ абонента «А»), а затем определяется композиция детерминированных точек удвоения.

6.1.1. Вычисление точки [2]коа , как результат удвоения точки коа:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке К_ОА = =G₂₃₆ = (X₂₃₆; Y₂₃₆) = (231; 165)

K = mod P = mod 293 = 106 mod 293 → 106.

- вычисление координат точки [2] К_ОА = (X₂; Y₂)

X₂ = (K² – 2X₂₃₆) mod P = (106² - 2*231) mod 293 = 226 mod 293 → 226;

Y₂ = (K*(X₂₃₆ – X₂) – Y₂₃₆) mod P = (106*(231 – 226) – 165) mod 293 =

= 72 mod 293 → 72.

Следовательно, [2] К_ОА = (X₂; Y₂) = (226; 72), координаты точки [2] К_ОА определены как X₂ = 226; Y₂ = 72.

6.1.2. Вычисление точки [4]К_ОА , как результат удвоения точки [2]К_ОА ( [2]К_ОА = (X₂; Y₂) = (226; 72)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [2]К_ОА = (X₂; Y₂) = (226; 72)

K = mod P = mod 293 = 177 mod 293 → 177.

- вычисление координат точки [4] К_ОА = (X₄; Y₄)

X₄ = (K² – 2X₂) mod P = (177² - 2*226) mod 293 = 112 mod 293 → 112;

Y₄ = (K*(X₂ – X₄) – Y₂) mod P = (177*(226 – 112) – 72) mod 293 =

= 182 mod 293 → 182.

Следовательно, [4] К_ОА = (X₄; Y₄) = (112; 182), координаты точки

[4] К_ОА определены как X₄ = 112; Y₄ = 182.

6.1.3. Вычисление точки [8]К_ОА , как результат удвоения точки [4]К_ОА ( [4]К_ОА = (X₄; Y₄) = (112; 182)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [4]К_ОА = (X₄; Y₄) = (112; 182)

K = mod P = mod 293 = 200 mod 293 → 200.

- вычисление координат точки [8] К_ОА = (X₈; Y₈)

X₈ = (K² – 2X₄) mod P = (200² - 2*112) mod 293 = 221 mod 293 → 221;

Y₈ = (K*(X₄ – X₈) – Y₄) mod P = (200*(112 – 221) – 182) mod 293 =

= 286 mod 293 → 286.

Следовательно, [8] К_ОА = (X₈; Y₈) = (221; 286), координаты точки

[8] К_ОА определены как X₈ = 221; Y₈ = 286.

6.1.4. Вычисление точки [16]К_ОА , как результат удвоения точки [8]К_ОА ( [8]К_ОА = (X₈; Y₈) = (221; 286)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [8]К_ОА = (X₈; Y₈) = (221; 286)

K = mod P = mod 293 = 228 mod 293 → 228.

- вычисление координат точки [16] К_ОА = (X₁₆; Y₁₆)

X₁₆ = (K² – 2X₈) mod P = (228² - 2*221) mod 293 = 267 mod 293 → 267;

Y₁₆ = (K*(X₈ – X₁₆) – Y₈) mod P = (228*(221 – 267) – 286) mod 293 =

= 67 mod 293 → 67.

Следовательно, [16] К_ОА = (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67), координаты точки

[16] К_ОА определены как X₁₆ = 267; Y₁₆ = 67.

6.1.5. Вычисление точки [32]К_ОА , как результат удвоения точки [16]К_ОА ( [16]К_ОА = (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [16]К_ОА = (X₁₆; Y₁₆) = (267; 67)

K = mod P = mod 293 =177 mod 293 → 177.

- вычисление координат точки [32] К_ОА = (X₃₂; Y₃₂)

X₃₂ = (K² – 2X₁₆) mod P = (177² - 2*267) mod 293 = 30 mod 293 → 30;

Y₃₂ = (K*(X₁₆ – X₃₂) – Y₁₆) mod P = (177*(267 – 30) – 67) mod 293 =

= 276 mod 293 → 276.

Следовательно, [32] К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276), координаты точки

[32] К_ОА определены как X₃₂ = 30; Y₃₂ = 276.

6.1.6. Вычисление точки [64]К_ОА , как результат удвоения точки [32]К_ОА ( [32]К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [32]К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) = (30; 276)

K = mod P = mod 293 =41 mod 293 → 41.

- вычисление координат точки [64] К_ОА = (X₆₄; Y₆₄)

X₆₄ = (K² – 2X₃₂) mod P = (41² - 2*30) mod 293 = 156 mod 293 → 156;

Y₆₄ = (K*(X₃₂ – X₆₄) – Y₃₂) mod P = (41*(30 – 156) – 276) mod 293 =

= 125 mod 293 → 125.

Следовательно, [64] К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) = (156; 125), координаты точки

[64] К_ОА определены как X₆₄ = 156; Y₆₄ = 125.

6.1.7. Вычисление точки [128]К_ОА , как результат удвоения точки [64]К_ОА ( [64]К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) = (156; 125)):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [64]К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) = (156; 125)

K = mod P = mod 293 =278 mod 293 → 278.

- вычисление координат точки [128] К_ОА = (X₁₂₈; Y₁₂₈)

X₁₂₈ = (K² – 2X₆₄) mod P = (278² - 2*156) mod 293 = 206 mod 293 → 206;

Y₁₂₈ = (K*(X₆₄ – X₁₂₈) – Y₆₄) mod P = (278*(156 – 206) – 125) mod 293 =

= 39 mod 293 → 39.

Следовательно, [128] К_ОА = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (206; 39), координаты точки [128] К_ОА определены как X₁₂₈ = 206; Y₁₂₈ = 39.