4.2. Вычисление композиций точек удвоения [4]g; [8]g; [32]g; [64]g; [128]g заданной эллиптической кривой.

Для вычисления открытого ключа абонента «А» К_ОА = [К_ЗА]G необходимы точки [4]G; [8]G; [32]G; [64]G; [128]G заданной эллиптической кривой, т.к. число 236,отображающее закрытый ключ, формируется из результатов композиций операций удвоений 236 = 4 + 8 +32 + 64 + 128.

Следовательно, значение открытого ключа К_ОА = [К_ЗА]G будет определяться результатом композиций точек [4]G; [8]G; [32]G; [64]G; [128]G.

4.2.1. Вычисление композиции точек [64]G и [128]G; [64]G + [128]G = [192]G = (X₁₉₂; Y₁₉₂) . ( [64]G = (X₆₄; Y₆₄) = (78; 195); [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (94; 10))

- Вычисляется угловой коэффициент прямой, проходящей через точки [64]G и [128]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = - 185 * 16^-1 mod 293 = - 18 * 16²⁹¹ mod 293 = - 185 * 55 mod 293 = - 10175 mod 293 = -213 mod 293 = (293-213) mod 293 = 80 mod 293 → 80.

- Вычисляются координаты точки [192]G = (X₁₉₂; Y₁₉₂):

X₁₉₂ = (K² – X₆₄ – X₁₂₈) mod P = (80² – 78 – 94) mod 293 = 6228 mod 293 = 75 mod 293 → 75.

Y₁₉₂ = (K*(X₁₂₈ – X₁₉₂) – Y₁₂₈) mod P = (80* (94 – 75) – 10) = 1510 mod 293 = 45 mod 293 → 45

Следовательно, [192]G = (X₁₉₂; Y₁₉₂) = (75; 45), координаты точки [192]G определены как X₁₉₂ = 75; Y₁₉₂ = 45.

4.2.2. Вычисление композиции точек [192]G и [32]G; [192]G + [32]G = [224]G = (X₂₂₄; Y₂₂₄) . ([192]G = (X₁₉₂; Y₁₉₂) = (75; 45); [32]G = (X₃₂; Y₃₂) = (243; 3)).

- Вычисляется угловой коэффициент прямой, проходящей через точки [32]G и [192]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = - 42 * 168^-1 mod 293 = - 42 * 168²⁹¹ mod 293 = 251 * 75 mod 293 = 18825 mod 293 = 73 mod 293 → 73.

- Вычисляются координаты точки [224]G = (X₂₂₄; Y₂₂₄):

X₂₂₄ = (K² – X₁₉₂ – X₃₂) mod P = (73² – 75 – 243) mod 293 = 30 mod 293 → 30.

Y₂₂₄ = (K*(X₁₉₂ – X₂₂₄) – Y₁₉₂) mod P = (73* (75 – 30) – 45) mod 293 =

= 17 mod 293 → 17.

Следовательно, [224]G = (X₂₂₄; Y₂₂₄) = (30; 17), координаты точки [224]G определены как X₂₂₄ = 30; Y₂₂₄ = 17.

4.2.3. Вычисление композиции точек [224]G и [8]G; [224]G + [8]G = [232]G = (X₂₃₂; Y₂₃₂) . ([224]G = (X₂₂₄; Y₂₂₄) = (30; 17); [8]G = (X₈; Y₈) = (84; 254)).

- Вычисляется угловой коэффициент прямой, проходящей через точки [224]G и [8]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = mod 293 = 237 * 54^-1 mo293 = = 237 * 54²⁹¹ mod 293 = 237 * 38 mod 293 = 9006 mod 293 = 216 mod 293 → 216.

- Вычисляются координаты точки [232]G = (X₂₃₂; Y₂₃₂):

X₂₃₂ = (K² – X₂₃₂ – X₈) mod P = (216² – 30 – 84) mod 293 = 46542 mod 293 = 248 mod 293 → 248.

Y₂₃₂ = (K*(X₂₂₄ – X₂₃₂) – Y₂₂₄) mod P = (216* (30 – 248) – 17) mod 293 =

= - 47105 mod 293 = - 225 mod 293 = (293 – 225) mod 293 = 68 mod 293 → 68.

Следовательно, [232]G = (X₂₃₂; Y₂₃₂) = (248; 68), координаты точки [232]G определены как X₂₃₂ = 248; Y₂₃₂ = 68.

4.2.4. Вычисление композиции точек [232]G и [4]G; [232]G + [4]G = [236]G = (X₂₃₆; Y₂₃₆);. ([232]G = (X₂₃₂; Y₂₃₂) = (248; 68); [4]G = (X₄; Y₄) = (86; 71)).

- Вычисляется угловой коэффициент прямой, проходящей через точки [232]G и [4]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = - mod 293 = - 3*162^-1 mod 293 = - 3 * 162²⁹¹ mod 293 = -3 * 208 mod 293 = - 624 mod 293 = - 38 mod 293 = (293 – 38) mod 293 = 255 mod 293 → 255.

- Вычисляются координаты точки [236]G = (X₂₃₆; Y₂₃₆):

X₂₃₆ = (K² – X₂₃₂ – X₄) mod P = (255² – 248 – 86) mod 293 = 64691 mod 293 = = 231 mod 293 → 231.

Y₂₃₆ = (K*(X₂₃₂ – X₂₃₆) – Y₂₃₂) mod P = (255* (248 – 231) – 68) mod 293 =

= 4267 mod 293 = 165 mod 293 → 165.

Следовательно, [236]G = (X₂₃₆; Y₂₃₆) = (231; 165), координаты точки [236]G определены как X₂₃₆ = 231; Y₂₃₆ = 165.

В результате выполнения операций удвоения и композиций детерминированных множеств точек заданной эллиптической кривой определены координаты точки открытого ключа абонента «А», а, следовательно, и сам открытый ключ К_ОА = [К_ЗА]G = [236]G = (X₂₃₆; Y₂₃₆) = (231; 165). Открытый ключ абонента «А» К_ОА выбирается как значение абсциссы X₂₃₆ = 231, т.е. К_ОА = 231.

Абонент А передает абоненту В заданные параметры эллиптической кривой (P = 293; a = 8; b = 5), координаты генераторной точки G = (X_G; Y_G) = (18; 11) и координаты своего открытого ключа К_ОА = [К_ЗА]G = [236]G = (X₂₃₆; Y₂₃₆) = (231; 165) открыто по открытым каналам связи.

Действия абонента В.