13. Формула для приращения функций.
Пусть
функция W
= f(Z)
имеет в точке Z0
производную
.
Покажем, что имеет место представление
(1), где величина
,
когда
.
Действительно,
по
определению производной имеем
,
следовательно, величина
,
когда
.
Поэтому имеет место представление (1)
(умножим обе части на
и перенесем
в левую часть).
14. Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного
Функция
W
= f(Z)
называется дифференцируемой
в точке Z0,
если в этой точке имеет место представление
(2),
где A
–
фиксированное комплексное число, а
величина
стремится к нулю, когда
.
Если
функция W
= f(Z)
дифференцируема в точке Z0,
то главная линейная относительно
ее часть A·
приращение
в точке Z0
называется дифференциалом
функции
f(Z)
в точке
и обозначается
.
Имеет место теорема.
Теорема.
Для
того чтобы функция W
= f(Z)
была дифференцируема в точке Z0,
необходимо и достаточно, чтобы она имела
в этой точке конечную производную
,
при этом всегда оказывается, что в
представлении (2)
.
15. Правила дифференцирования
Так как формально определение производной функции комплексного переменного не отличается от определения производной вещественной (действительной) функции, то для производной функции комплексного переменного верны правила вычисления производных вещественных функций.
Например, справедливо правило:
Производная от константы равна 0 –
;
;
;
,
если q(Z)
в этой точке не равняется 0;
, 
(в частности).
16. Производная сложной и обратной функций
Теорема.
Пусть
функция W
= f(Z)
имеет в точке Z0
производную
,
а функция
имеет производную в точке
равную
,
тогда сложная функция
также имеет в точке
производную и эта производная равна
(чтобы множество значений функции f(Z)
не выходили за область определения
функции
).
Теорема.
Пусть
функция W
= f(Z),
отображающая множество E
плоскости (Z) на область
,
имеет обратную функцию
,
и пусть выполняются условия:
функция W = f(Z) имеет в точке Z0
производную
,функция непрерывна в точке ,
тогда
обратная функция
имеет в точке
производную и эта производная равна
.
17. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке
Функция
u
= u(x,y)
называется дифференцируемой
в точке
,
если ее полное приращение
в
этой точке, представляется в виде
(1),
где
A,
B
– фиксированные
числа, а величины
– зависимые от
и
,
стремящиеся к нулю
,
когда
,
,
при этом всегда оказывается
,
.
Теорема.
Для
того чтобы функция W
= f(Z)
имела в точке
конечную производную
,
необходимо и достаточно, чтобы ее
действительная и мнимая части u
=u
(x,y),
v
= v(x,y),
были дифференцируемы соответственно
в
и
,
и чтобы в этой точке (
)
выполнялись равенства
; 
(2),
(Коши-Римана, правильнее Даламбера-Эйлера).
18. Построение мнимой части аналитической функции по ее действительной части
Пусть
в некоторой области D
плоскости известна действительная
часть u(x,y)
аналитической функции. Требуется
построить ее мнимую часть v(x,y)
в этой области. Мнимая часть по
действительной находится следующим
способом. Пишут уравнения
;
.
Интегрируют одно из равенств (первое
по x)
(1),
затем дифференцируют полученное
равенство по переменной y
.
Отсюда находят
и подставляют его в (1).
Пример.
Построить мнимую часть числа по действительной
;
.
Интегрируем по x.
.
Находим производную по y
и приравниваем
,
и теперь интегрируем
.
Таким
образом,
,
,
,
,
следовательно,
;
.