10. Непрерывность функции комплексного переменного

Пусть точка Z₀ принадлежащая E, является предельной точкой множества Е.

Функция f(Z) называется непрерывной в точке Z₀ принадлежащей E, если .

Таким образом, функция f(Z) называется непрерывной в точке Z₀ принадлежащей E, если для любого , что для любой точки Z, принадлежащей E (Z ≠ Z₀), удовлетворяющей неравенству , выполняется неравенство .

Т. к. равенство эквивалентно выполнению равенств , , то непрерывность функции f(Z) в точке Z₀ эквивалентно непрерывности вещественных функций u(x,y) и v(x,y) в соответствующей точке (x₀,y₀). Поэтому на непрерывность функции комплексного переменного распространяются все основные свойства непрерывных функций вещественных переменных. В частности справедливы теоремы.

Теорема.

Если функции f(Z) и q(Z) непрерывны в точке Z₀, принадлежащей E, то функции f(Z)±q(Z) и f(Z)·q(Z) так же непрерывны в точке Z₀, если дополнительно известно, что q(Z₀) ≠ 0, то будет непрерывна и функция в точке Z₀. В самом деле .

11. Понятие равномерной непрерывности функции комплексной переменной

Функция W = f(Z) называется равномерно непрерывной на множестве , если для любого , такое, что для любой пары точек Z₁ и Z₂, принадлежащих E, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Каждая равномерно непрерывная в области E функция f(Z) является непрерывной в любой точке этой области. Однако не всякая непрерывная в области E функция является равномерно непрерывной функцией. Справедлива теорема.

Теорема.

Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве E плоскости (Z) функция f(Z) равномерно непрерывна на этом множестве.

Отметим, что непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция f(Z₀) является ограниченной, т. е. существует М > 0, такая, что для любой Z принадлежащей E выполняется неравенство .

12. Понятие производной функции комплексного переменного

Пусть функция W = f(Z) задана на некотором множестве и Z₀, принадлежащая E, предельная точка этого множества. Придадим Z₀=x₀+i·y₀ приращение ΔZ = Δx+i·Δy_, чтобы точка Z = Z₀+ΔZ принадлежала множеству Е. Тогда функция W = u+i·v = f(Z) = u(x,y)+i·v(x,y). Получим приращение ΔW = Δu+i·Δv = f(Z₀+ΔZ) - f(Z₀) = Δf(Z₀), .

Если существует конечный предел , то он называется производной функции f(Z) в точке Z₀ по множеству E, и обозначается , , , W'.

Формально производная функция комплексного переменного определяется точно так же как и производная функции вещественного переменного, но содержание их различно.

В определении производной функции f(x) вещественной переменной в точке х₀ , x → х₀ вдоль прямой. В случае функции комплексного переменного f(Z), Z может стремиться к Z₀ по любому пути плоскости, ведущему в точку Z₀.

Поэтому требование существования производной функции комплексного переменного очень жестко. Этим и объясняется, что даже простые функции комплексного переменного не имеют производной.

Пример.

Рассмотрим функцию W = = x-i·y. Покажем, что эта функция не имеет производной ни в одной точке. Возьмем любую точку Z₀ = x₀+i·y₀, придадим ей приращение ΔZ = Δx+i·Δy, тогда функция получит приращение . Значит

, ,

Будем вначале рассматривать ΔZ = Δx + i·Δy такие, что Δx → 0, а Δy = 0, т. е. точка Z₀ + ΔZ → Z₀ по горизонтальной прямой. При этом мы получим, что

Будем теперь рассматривать приращение ∆Z такими, что ∆x = 0, а ∆y → 0, т.е. когда Z₀ + ∆Z→ Z₀ по вертикальной прямой, при этом очевидно будет .

Полученные пределы различные, поэтому отношение не имеет предела при ∆Z → 0, то есть функция не имеет производной в любой точке Z₀ .

Выясним смысл производной по множеству. Пусть E – действительная ось, и W = f(Z) = x, тогда это есть обычная вещественная функция вещественной переменной f(x) = x и ее производная будет равна 1 ( ).

Пусть теперь Е – это вся плоскость (Z). Покажем, что функция f(Z) = x в этом случае не имеет производной ни в одной точке. Действительно, в данном случае . Отсюда видно, что если а , то . Если же , а , то . Следовательно, отношение не имеет предела при , поэтому функция f(Z) = x не имеет производной ни в одной точке .

Отметим, что если рассматривается комплексно-значная функция вещественной переменной , то из определения производной непосредственно вытекает, что , следовательно, (это производная по вещественной оси).