6. Корень n – ой степени из комплексного числа

Возьмем произвольное комплексное число с и натуральное число n 2.

Комплексное число Z называется корнем n–ой степени из комплексного числа c, если Zⁿ = c.

Найдем все значения корня n–ой степени из комплексного числа с. Пусть c=|c|·(cos Arg c+i·sin Arg с), а Z = |Z|·(сos Arg Z + i·sin Arg Z), где Z корень n-ой степени из комплексного числа с. Тогда должно быть = c = |c|·(cos Arg c+i·sin Arg с). Отсюда следует, что и n·Arg Z = Arg с Arg Z = (k=0, 1,…). Следовательно, Z = (cos + i·sin ), (k=0, 1,…). Легко увидеть, что любое из значений , (k=0, 1,…) отличается от одного из соответствующих значений ,(k = 0,1,…,n-1) на кратное 2π. Поэтому

, (k = 0,1,…,n-1).

7. Предел последовательности комплексных чисел

Комплексно-значная функция натурального аргумента называются последовательностью комплексных чисел и обозначается (с_n) или с₁, с₂, ..., с_n. с_n = а_n+b_n·i (n = 1,2, ...) комплексные числа.

с₁, с₂, … - члены последовательности; с_n – общий член

Комплексное число с = a+b·i называется пределом последовательности комплексных чисел (c_n), где с_n = а_n+b_n·i (n = 1, 2, …), где для любого , что при всех n > N выполняется неравенство . Последовательность, имеющая конечный предел называется сходящейся последовательностью.

Теорема.

Для того, чтобы последовательность комплексных чисел (с_n) (с_n = а_n+b_n·i) сходилась к числу с = a+b·i, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство lim a_n = a, lim b_n = b.

Теорема.

Пусть последовательность комплексных чисел (с_n) и (z_n) сходятся соответственно к с и z, тогда справедливо равенства lim(с_n z_n) = c z, lim(с_n·z_n) = c·z. Если доподлинно известно, что z не равно 0, то справедливо равенство .

8. Понятие функции комплексного переменного.

Рассмотрим в комплексной плоскости (Z) два множества E и D (не пустые).

Отображение множества на множество называется функцией комплексного переменного (D может принадлежать другой плоскости (W)). Любому Z₀, принадлежащему E, указан каким-то способом одним элемент из D).

Пусть Z = x+i·y, W = u+i·v. Очевидно, что задание функции комплексного переменного эквивалентно следующему: каждой паре (Е здесь принадлежит декартовой плоскости) ставится в соответствие два числа v и u. Следовательно, задание функции комплексного переменного W = f(Z) эквивалентно заданию вещественных функций u = u(x,y), v = v(x,y). При этом мы имеем f(Z) = u(x,y) + i·v(x,y).

Функция u(x,y) называется вещественной частью функции f(Z), а v(x,y) мнимой частью f(Z). Таким образом, Ref(Z) = u(x,y) , Imf(Z) = v(x,y).

Например, для функции W = Z² = (x +i·y)² = x² – y² + 2·i·x·y вещественная часть ReZ² = x² – y², ImZ² = 2·x·y.

Геометрически, как отображение множества на множество .

В теории аналитических функций рассматривают и многозначные функции.

Функция W = f(Z), отображающая множество на множество называется многозначной, если она ставит в соответствие некоторым не одно, а несколько числовых значений .

9. Предел функции комплексного переменного

Пусть функция f(Z) задана на множестве и Z₀, принадлежащей (Z), предельная точка множества Е.

Комплексное число A = B+i·C называется пределом функции W = f(Z) в точке Z₀, если для любого , такое что, для любой точки Z принадлежащей E (Z ≠ Z₀), удовлетворяющее неравенству (1), выполняется неравенство (2). При этом пишут

(3).

В дальнейшем мы будем просто писать (4).

Теорема.

Для того чтобы число A = B+i·C было пределом функции W = f(Z) при Z→Z₀, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

(5), (6).

Теорема.

Пусть функция W = f(Z) и W = q(Z) заданы на одном и том же множестве E и выполняются равенства , . Тогда справедливы равенства , . Если дополнительно известно, что B ≠ 0, то .