4. Геометрические изображения комплексных чисел

Рассмотрим декартову числовую плоскость.

Изобразим комплексное число с = (a,b) = a+i·b точкой М(a,b). Эту точку М мы будем называть аффиксом комплексного числа с = (a,b) (аффикс – отметка). В дальнейшем эти точки мы будем также обозначать буквой с, и отождествлять комплексные числа с соответствующими точками декартовой плоскости.

Плоскость, точки которой являются изображением комплексных чисел, называется комплексной плоскостью, ее обозначают символами (Z) или (W).

Легко видеть, что действительные числа а = (а,0) изображаются точками оси иксов (oX), поэтому ось абсцисс называется действительной осью.

Мнимые числа с = (a,b) = a+i·b (b ≠ 0) изображаются точками, не лежащими на оси абсцисс. Чисто мнимые числа c = (0,b) = b·i (b ≠ 0) изображаются точками оси ординат, поэтому эту ось в комплексной плоскости называют мнимой осью.

Начало координат (0,0) является изображением комплексного числа 0, поэтому оно называется нулем. Отметим, что комплексные числа Z=x+i·y=(x,y) также изображаются векторами плоскости с проекциями x и y. Начало вектора может быть помещено в любую точку.

Изобразим комплексное число Z = (x,y) = x+i·y вектором, начало которого помещено в нуль.

Длина этого вектора очевидно равна и называется модулем комплексного числа Z и обозначается .

Угол, который составляет этот вектор с положительным направлением действительной оси, называется аргументом комплексного числа Z и обозначается ArgZ. Этот угол определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемых кратных 2π. Отметим, что направление отсчета углов против часовой стрелки принимают за положительное, а по часовой стрелке за отрицательное.

Среди бесконечного множества значений ArgZ есть одно такое, которое содержится в полуинтервале , оно называется главным значением аргумента числа Z и обозначается символом argZ.

Очевидно ArgZ = argZ+2πk (к = 0, 1, 2,…). Легко доказывается, что для комплексных чисел Z = x+y·i

argZ =

5. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Из чертежа непосредственно видно , . Отсюда следует, что (1) – тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Геометрическое истолкование суммы, разности, произведения и частного двух комплексных чисел

Пусть нам даны два комплексных числа с₁ = а₁ + b₁·i и с₂ = а₂ + b₂·i. Составим их сумму с = с₁ + с₂ = (а₁ + а₂) + i·(b₁ + b₂). Изобразим с₁ и с₂ векторами с началом в нуле. Построим на них параллелограмм.

Очевидно сумма с=с₁+с₂ изображается вектором диагонали параллелограмма, построенного на векторах с₁ и с₂ с началами в нуле. Т. е. сумму можно находить по правилу сложения векторов.

Из чертежа непосредственно следует, что (2) – это неравенство распространяется на любое число слагаемых.

Рассмотрим теперь разность с = с₁-с₂, где с₁ = а₁+b₁·i и с₂ = а₂+b₂·i. Очевидно с = (а₁-а₂)+i·(b₁-b₂) или с = с₁+(-с₂).

Нетрудно видеть, что вектор (-с₂) получается из вектора с₂ изменением направления на противоположное. Вектор с = с₁-с₂ получается в результате сложения вектора с₁ и (-с₂). Таким образом число с = с₁-с₂ изображается вектором, соединяющим точки с₁ и с₂, причем начало его помещено в точке с₂, а конец в точке с₁. Модуль разности с₁-с₂ есть расстояние между точками с₁ и с₂.

Из чертежа непосредственно видно, что , можно показать, что ;

Равенство имеет место только в том случае, когда эти векторы коллинеарные.

Возьмем два произвольных комплексных числа: , и составим их произведение с = с₁·с₂ = |с₁|·|c₂|·[(сosArg с₁ · сosArg с₂ - sinArg с₁ · sinArg с₂)+i·(sinArg с₁ · сosArg с₂ + сosArg с₁ · sinArg с₂)] = |с₁|·|c₂|·[cos(Arg с₁ + Arg с₂) + i·sin(Arg с₁ + Arg с₂)]. Следовательно |c| = |с₁|·|c₂| =|с₁·c₂|, Arg c = Arg(с₁·с₂) = Arg с₁+Arg с₂ (сумма аргументов – алгебраическая сумма). Отметим, что Arg c² = Arg c + Arg c и не равно 2·Arg c. Но можно Arg c² = 2·arg c + 2кπ. Таким образом комплексное число с = с₁·с₂ изображается вектором, который получается из вектора с₁ путем его растяжения в |c₂| раз и путем поворота полученного вектора на угол Arg с₂.

Легко устанавливается, что модуль произведения любого конечного числа чисел равен произведению их модулей и аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей Arc(c₁·…·c_n)=Argс₁+…+Argc_n. В частности есть с₁ = с₂ = … = с_n, то , Arg сⁿ=Arg c+…+Arg с = n·arg с+2кπ (k = 0, 1, 2, …). Таким образом

cⁿ = |c|ⁿ·(сos nArg с+ i·sin nArg с), n ≥ 2 (3)

Полученная формула называется формулой Муавра. Часто формулой Муавра называют другую формулу (cosφ+i·sinφ)ⁿ = cos nφ+ i·sin nφ (4)

Рассмотрим два комплексных числа с₁ и с₂, с₂ ≠ 0. . По определению частного с₁ = с·с₂ = ·с₂.

Arg c₁ = Arg + Arg c₂

Arg = Arg c₁ - Arg c₂

Итак, с = = [cos(Arg c₁ - Arg c₂)+i·sin(Arg c₁ - Arg c₂)]

Комплексное число с = изображается вектором, который получается из вектора с₁ путем его сжатия в раз, затем поворотом полученного вектора на угол (-Arg c₂)