1. Понятие комплексного числа

Комплексным числом C называется упорядоченная пара (a,b) вещественных чисел a и b.

Числа вида (a,0) мы будем отождествлять с вещественным числом a.

Число a называется вещественной частью комплексного числа . Пишут ReC = a.

Число b называется мнимой частью комплексного числа , и обозначается ImC = b.

Если b ≠ 0, то комплексное число называется мнимым числом. Если же b ≠ 0 и, кроме того, а = 0, то комплексное число называется чисто мнимым числом.

Два комплексных числа и считаются равными (с₁ = с₂), если а₁ = а₂ и b₁ = b₂ (равны их вещественные и мнимые части чисел).

2. Арифметические действия над комплексными числами

Под суммой двух комплексных чисел и понимается комплексное число с = (а₁+ а₂, b₁+b₂) и обозначается с = с₁+с₂ .

Вычитание определяется как действие обратное сложению.

Под разностью двух комплексных чисел и понимается комплексное число с, такое что с₁ = с+с₂ и обозначается с = с₁-с₂. Оказывается, что эта разность единственная и при том равна .

Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число с равное . Действие деления определяется как обратное умножению.

Под частным двух комплексных чисел и понимается комплексное число , такое что с₁ = с·с₂ . Частное обозначается символом с = с₁/c₂ . Оказывается, что частное существует и единственно, если с₂ ≠ 0 (c₁/0 = c; c₁ = 0·с = 0; 0/0 = c; 0 = 0·с).

Действия сложения и умножения комплексных чисел обладают обычными арифметическими свойствами:

• с₁ + (с₂ + с₃) = (с₁ +с₂) + с₃ (ассоциативность сложения)

• с₁ · (с₂ · с₃) = (с₁ · с₂) · с₃ (ассоциативность умножения)

• с₁ + с₂ = с₂ + с₁ (коммутативность сложения)

• с₁ · с₂ = с₂ · с₁ (коммутативность умножения)

• с₁ · (с₂ + с₃) = с₁ · с₂ + с₁ · с₃ (дистрибутивность умножения относительно операции сложения)

Среди комплексных чисел выделяют число (0,1), которое обозначается символом i. Это число обладает характеристическим свойством:

i² = i·i = -1

Действительно i·i = (0,1)·(0,1) = (0·0-1·1, 0·1+1·0) = (-1,0) = -1

Часто пишут неправильно, что . На самом деле - .

3. Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Легко видеть, что произведение b·i = (b,0)·(0,1) = (b·0–0·1, b·1+0·0) = (0,b) и c=(a,b)=(a,0)+(0,b). Поэтому c=a+b·i – алгебраическая форма записи комплексного числа.

Пользуясь алгебраической формой записи комплексного числа, легко показывается, что произведение комплексных чисел и можно вычислить по правилу умножения многочлена на многочлен с заменой i² на -1.

с₁·с₂ = (а₁+b₁·i)·(а₂+b₂·i)=а₁·а₂+а₁·b₂·i+а₂·b₁·i +b₁·b₂·i² =

= (а₁·а₂-b₁·b₂)+i(а₁·b₂+а₂·b₁) = (а₁·а₂-b₁·b₂,а₁·b₂+а₂·b₁)

Комплексные числа и называются сопряженными числами.

Легко доказывается, что операция сопряжения обладает свойствами:

1. 

2. 

3. 

4. 

Произведение , неравенство будет строгим, если с ≠ 0. Во множестве комплексных чисел существует единственное число , такое что , и в множестве комплексных чисел существует единственное число , что .

Пусть с₁ = а₁+b₁·i и с₂ = а₂+b₂·i , причем с₂ ≠ 0, тогда частное , таким образом будет найдено частное.