Матричный метод решения систем линейных уравнений

Пусть даны матрицы , , . Умножим A на X справа. Получим матрицу = .

Для того чтобы матрица AX была равна матрице B, необходимо и достаточно, чтобы были равны их элементы, то есть чтобы числа были решением системы .

равенство AX=B называется матричной записью системы.

Предположим, что матрица A не вырождена. Тогда она имеет обратную матрицу Умножим слева на обе части уравнения AX=B. Получим . Так как , а , будем иметь .

Равенство есть формула решения системы линейных уравнений матричным методом.

Как и формулы Крамера, матричный метод применим только в том случае, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных и главный определитель системы отличен от нуля.

Метод Гаусса

Универсальным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. В отличие от матричного метода и формул Крамера метод Гаусса можно применять для решения любых систем линейных уравнений. Метод Гаусса позволяет также установить, имеет ли система решения (в этом случае она называется совместной) или нет (тогда система называется несовместной).

Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных при помощи преобразований, не нарушающих равносильности.

Напомним, что две системы линейных уравнений называются равносильными, если они имеют одинаковые решения либо каждая из них несовместна.

Решая систему линейных уравнений методом Гаусса, преобразования уравнений обычно выполняют в матричной форме, выписывая только коэффициенты при неизвестных и свободные члены. Таким образом, преобразование систем линейных уравнений сводится к преобразованию матриц. Поэтому, прежде чем приступить к описанию собственно метода Гаусса, рассмотрим соответствующие преобразования матриц самих по себе, безотносительно к решению систем линейных уравнений.

Приведение матрицы к каноническому виду

E … ….. …….. …….. 0 0 k n-k k m m-k n

Говорят, что матрица размерности имеет канонический вид, если её можно разбить на четыре блока (некоторые из них могут оказаться пустыми), каждый из которых представляет собой подматрицу определённого типа (подматрицей называется матрица, являющаяся частью исходной матрицы). Левый верхний блок – единичная матрица k-го порядка, два нижних блока – матрицы размерностей и , состоящие из нулей (на схеме эти матрицы обозначены большими жирными нулями). Правый верхний блок – произвольная матрица размерности . Число k > 0 и не превосходит чисел m и n.

Если , правые блоки отсутствуют, если , отсутствуют нижние (нулевые) блоки. Если , матрица состоит из одного ( единичного) блока.

Приведём конкретные примеры матриц, имеющих канонический вид (точками обозначены те элементы матриц, конкретные значения которых роли не играют):

а) , б) , в) , г) .

В примере а) , (k совпадает с количеством строк), обе нулевые подматрицы отсутствуют; в примере б) (k совпадает с количеством столбцов), , оба правых блока отсутствуют, нулевая подматрица является матрицей-строкой; в примере в) , первая нулевая подматрица является матрицей-строкой, вторая нулевая подматрица состоит из одного элемента; в примере г) , , .

Часто в определении матрицы канонического вида вместо единичной подматрицы фигурирует треугольная подматрица. В этом случае говорят о матрице почти канонического вида. Поскольку единичная матрица – частный случай треугольной, матрицы канонического вида – частный случай матриц почти канонического вида. Если в схематическом изображении матрицы канонического вида единичную матрицу в левом верхнем блоке заменить треугольной, получится схема матрицы почти канонического вида.

Приведём примеры матриц, имеющих почти канонический вид:

а) , б) , в) , г) .

Следующие преобразования матриц называются допустимыми: перестановка строк; перестановка столбцов; умножение элементов строки матрицы на одно и то же число, отличное от нуля; прибавление к одной из строк матрицы другой строки, предварительно умноженной на некоторое число (в частности, вычитание одной строки из другой и прибавление одной строки к другой). Как будет показано далее, допустимые преобразования матриц отвечают тем действиям с системами линейных уравнений, которые не нарушают равносильности.

При помощи допустимых преобразований любую матрицу A можно привести к матрице , имеющей канонический вид.

Приведение матрицы к каноническому виду можно разбить на этапы, каждый из которых состоит из двух шагов – получения очередной единицы на главной диагонали и превращения соответствующего столбца в единичный столбец, то есть такой, у которого все элементы, за исключением диагонального, равны нулю.

Первый шаг осуществляется следующим образом. Если рассматриваемый диагональный элемент равен единице, переходим ко второму шагу. Если диагональный элемент не равен единице, но отличен от нуля, поделим на него все элементы его строки. Если диагональный элемент равен нулю, то поищем ненулевой элемент, расположенный либо в его (диагонального элемента) столбце, но ниже, либо в его строке, но правее, либо ниже и правее одновременно. Если такой элемент найдётся, сделаем его диагональным, переставив соответствующие строки (в первом случае), или столбцы (во втором), или строки и столбцы по очереди (в третьем). Если же такого элемента не найдётся, это будет означать, что процесс закончен.

Если первый шаг выполнен, а столбец, в котором стоит новый единичный диагональный элемент, содержит другой ненулевой элемент, прибавим к его строке строку диагонального элемента, умноженную на подлежащий уничтожению элемент, взятый с противоположным знаком.

Рассмотрим пример приведения матрицы к каноническому виду.

~ ~ ~

Первый диагональный Первый диагональный

элемент равен нулю. элемент отличен от нуля.

~ ~ ~ ~

Первый диагональный

элемент стал равным единице

~ ~ ~ ~

Второй диагональный Второй диагональный

элемент равен нулю. элемент равен единице.

~ ~ ~ ~

Третий диагональный

элемент равен нулю

~ ~ ~ ~

Третий диагональный

элемент равен единице

~ ~ . Получили, что .

Четвёртый диагональный

элемент равен нулю

В том случае, когда ставится цель привести матрицу всего лишь к почти каноническому виду, уничтожаются (преобразуются в нулевые) только те ненулевые элементы, которые расположены ниже диагонального элемента. В приведённом примере преобразования несколько изменились бы.

~ ~ .