Программа курса «Линейная алгебра»

Тема 1. Матрицы, определители, системы линейных уравнений.

Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.

Определители и их свойства.

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.

Тема 2. Линейное пространство.

Определение линейного пространства. Линейно независимые векторы. Базис линейного пространства.

Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы.

Линейные операторы.

Тема 3. Элементы аналитической геометрии

Декартова система координат на плоскости. Прямая на плоскости.

Векторы. Линейные операции над векторами.

Декартова система координат в пространстве. Координаты вектора.

Скалярное произведение векторов.

Коллинеарность и перпендикулярность векторов.

Прямая и плоскость в пространстве.

Тема 4. Квадратичные формы.

Квадратичная форма. Матричное представление квадратичной формы.

Положительно и отрицательно определённые квадратичные формы.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

т е о р е т и ч е с к и й м и н и м у м

Матрицы и определители Матрицы. Линейные операции над матрицами

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, заключённая в круглые скобки. Если матрица А содержит m строк и n столбцов, говорят, что матрица имеет размерность (или размер) . Элементы матрицы А, обозначаются обычно одноимённой маленькой буквой, снабжённой двумя индексами (номерами) по следующему правилу: элемент, стоящий на пересечении строки с номером i и столбца с номером j, обозначается через

Если строки матрицы заменить столбцами (или, что приведёт к тому же результату, столбцы заменить строками), получится матрица, называемая транспонированной, а сама операция замены строк столбцами (столбцов строками) называется транспонированием и обозначается значком Τ. Если исходная матрица А имеет размерность , то транспонированная матрица А^Τ имеет размерность .

Если , то _, и .

К примеру, если , то .

Очевидно, что повторное транспонирование даёт исходную матрицу, то есть (А^Τ)^Τ= А.

Матрица размерности имеет вид и называется матрицей-строкой (элементы матрицы-строки иногда отделяют друг от друга запятой, возможна запись ). матрицей-столбцом называется матрица вида , её размерность .

При транспонировании матрицы-столбца получается матрица-строка и наоборот. в целях экономии места матрицу-столбец часто представляют как транспонированную матрицу-строку .

Упорядоченный набор n чисел называется n-мерным алгебраическим вектором. Эти числа (компоненты вектора) можно расположить в строчку или в столбик. В первом случае получим матрицу-строку , во втором – матрицу-столбец . В связи с этим матрицы-столбцы и матрицы-строки мы будем также называть векторами, опуская, как правило, слово алгебраическими.

Алгебраический вектор называется ненулевым, если хотя бы одна из его компонент отлична от нуля. Нулевой вектор состоит только из нулей.

Если число строк матрицы совпадает с числом её столбцов, матрица называется квадратной. Матрица А размерности называется квадратной матрицей n-го порядка.

Элемент квадратной матрицы называется диагональным, если номер его строки совпадает с номером его столбца. Совокупность диагональных элементов называются главной диагональю квадратной матрицы.

Квадратная матрица называется треугольной, если все её диагональные элементы отличны от нуля, а элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю.

Квадратная матрица А называется симметричной, если её элементы, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны, то есть если a_{i j} = a _{j i}.

Симметричная матрица не изменяется при транспонировании, А^Τ=А.

Приведём примеры треугольной и симметричной матриц. Матрица

треугольная, матрица симметричная.

Матрицы одной размерности можно складывать. Матрицы складываются поэлементно. Умножение матрицы на число определяется как умножение на это число всех её элементов. Поясним правила сложения матриц и умножения матрицы на число примером.

.

Сложение и умножение на число называются линейными операциями.