Определители второго и третьего порядков

Определителем матрицы, состоящей из одного элемента, называется сам этот элемент. Определителем квадратной матрицы , или определителем второго порядка, называется число, которое обозначается через и вычисляется по формуле .

Определитель третьего порядка вычисляется по следующей формуле:

.

Определитель n-го порядка, то есть определитель матрицы размерности , определяется как алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов этой матрицы, каждое из которых содержит n сомножителей, по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца. Правило расстановки знаков в этой алгебраической сумме при достаточно сложно. Поэтому мы ограничились случаями , и .

Для обозначения определителя матрицы A, наряду с , используются символы (от слова determinant – определитель) и Δ.

Определитель любого порядка можно вычислить разложением по строке или столбцу (говоря о строках и столбцах определителя, имеют в виду строки и столбцы соответствующей квадратной матрицы).

Выведем формулу разложения по первой строке для определителя третьего порядка. С этой целью преобразуем соответствующую алгебраическую сумму, группируя подчёркнутые слагаемые и используя для записи выражений в скобках определители второго порядка:

. Таким образом,

.

Чтобы обобщить полученную нами формулу разложения определителя третьего порядка по первой строке на определители более высоких порядков, введём несколько новых понятий.

определитель, полученный из матрицы вычёркиванием строк и столбцов, называется её минором. Так, например, если вычеркнуть из матрицы третий столбец, получится минор , а минор получается вычеркиванием первого и четвёртого столбцов и второй строки.

Минором M_{i j} элемента a_{i j} матрицы A называется определитель, полученный вычёркиванием из этой матрицы i-й строки и j-го столбца.

Для матрицы минорами M₁₁, M₁₂, M₁₃ служат, соответственно, определители , , , и формула разложения по строке приобретает вид = a₁₁ M₁₁ – a₁₂ M₁₂ + a₁₃ M₁₃.

Полученная формула обладает существенным недостатком: при разложении определителя по другой строке знаки в алгебраической сумме могут быть другими. Этот недостаток легко устраняется при помощи введения понятия алгебраического дополнения.

алгебраическим дополнением элемента a_{i j} матрицы A называется число A_{i j}, определяемое равенством A_{i j} = (–1)^i+jM_{i j}.

Например, A₁₁ = M₁₁, A₁₂ = – M₁₂, A₁₃ = M₁₃. С использованием алгебраических дополнений формула для вычисления определителей третьего порядка становится проще: = a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₁₂ + a₁₃ A₁₃.

Такую же формулу можно написать для каждой строки и каждого столбца определителя.

Т е о р е м а. Определитель n-го порядка (при ) равен сумме произведений элементов любой его строки (любого его столбца) на их алгебраические дополнения.

эта теорема доказана нами для первой строки определителя третьего порядка.

С л е д с т в и е. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов и, следовательно, отличен от нуля.

Убедимся в этом на примере треугольной матрицы третьего порядка.

(определитель вычислен разложением по первому столбцу; элементы, не оказывающие влияния на конечный результат, обозначены звёздочкой).

Отметим, что определитель единичной матрицы равен 1.