Оглавление

П р е д и с л о в и е………………………….……………..………………........3

П р о г р а м м а к у р с а «Линейная алгебра» …………………..………….4

Т е о р е т и ч е с к и й м и н и м у м

Матрицы и определители ……………………………………………….…..4

Матрицы. Линейные операции над матрицами ……………….………..4

Умножение матриц ………………………………………………………..6

Определители второго и третьего порядков ………………….…………8

свойства определителей ………………………………………………...10

Формулы Крамера ………………………………………………………..12

Матричный метод решения систем линейных уравнений ………….....13

Метод Гаусса ………………………………………….……………………..14

Приведение матрицы к каноническому виду ………………………..…14

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса …………….…17

Ранг матрицы ……………………………………………………..………21

собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы ...…24

Линейные пространства и линейные операторы …………………………...26

Линейные пространства …………………………………………………26

Линейные операторы …………………………………………………….29

Квадратичные формы …………………………………………………….. 30

Матричная запись квадратичной формы ……………………………….30

Приведение квадратичной формы к каноническому виду .…………...32

Знакоопределённые квадратичные формы ……………………………..38

Элементы аналитической геометрии в пространстве ……………...….39

Векторы. Линейные операции над векторами ………………..………..39

Координаты вектора …………………………………….………...……..41

Скалярное произведение векторов ……………………………………..43

Прямая и плоскость в пространстве …………..………………………..44

Общее уравнение плоскости ……………………………………………45

К о н т р о л ь н ы е з а д а н и я ......................................................................46

К о м м е н т а р и и к к о н т р о л ь н ы м з а д а н и я м...........................53

Б и б л и о г р а ф и ч е с к и й с п и с о к .......................................................55

С о с т а в и т е л ь

Алексеева Валентина Евгеньевна

линейная АЛГЕБРА

Программа курса, контрольные задания

и методические указания

для студентов заочного отделения ФЭУ

(специальность 080100 экономика)

Отпечатано в авторской редакции

Компьютерная верстка

Подписано в печать с оригинал-макета

Формат 6084/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная.

Уч.-изд. л. . Печ. л. . Тираж 100 экз. Заказ № . С

Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия

Издательско-полиграфический отдел СПбГЛТУ

194021, Санкт-Петербург, Институтский пер., 5

1 Как станет ясно из дальнейшего, без этого предположения получить треугольную матрицу не удастся.

1 Приведённое доказательство можно пропустить, приняв утверждение на веру.

1 Значение одной из неизвестных выбирается произвольно, t – любое число. Можно было положить, например, t =1, тогда x₃₁=1 и X₁=(1, 1, 1)^Τ.

*^* Здесь, чтобы избежать появления дробей, мы вместо x₃₂=t взяли x₃₂=2t.

1 Равенство Y=P ^–1X получается из равенства X=PY умножением обеих его частей на P ^–1 слева (обратная матрица P ^–1 существует, так как P не вырождена). Если обе части равенства Y=P ^–1X умножить слева на P, вернёмся к равенству X=PY .

1 Эта тема излагается конспективно, доказательства, как правило, не приводятся, некоторые формулировки требуют уточнений.

1 Возможность раскрывать скобки при перемножении линейных комбинаций векторов следует из свойств скалярного произведения, которые мы здесь не рассматриваем, поскольку это потребовало бы обращения к понятию проекции вектора и привело бы к неоправданному увеличению теоретического минимума.

*^* Рассматриваются ненулевые векторы.

1 Это неудивительно, поскольку слова ортогональность и перпендикулярность – синонимы (orthós – прямой и gōnía – угол)

53