Комментарии к контрольным заданиям
1
– 10.
Чтобы решить систему
следует
выписать матрицу коэффициентов и
вычислить её
определитель
по
формуле
.
Затем нужно найти решение системы по
формулам Крамера:
Далее
по формуле
нужно найти обратную матрицу и, проверив
правильность её вычисления, снова решить
систему, теперь уже матричным методом,
по формуле
Пример решения системы методом Гаусса-Жордана приведён на страницах 18 и 19.
11 – 20. Чтобы показать, что векторы a, b, c образуют базис, нужно составить определитель из их координат и убедиться в том, что он отличен от нуля. Затем, обозначив через α, β, γ коэффициенты разложения вектора d по векторам a, b, c, следует записать равенство α a +β b+γ c = d в координатной форме. Получится система трёх линейных уравнений относительно α, β, γ. Останется только решить эту систему.
21 – 30. Чтобы найти ранг матрицы, нужно при помощи допустимых преобразований привести её к каноническому (или почти каноническому) виду. Соответствующий пример рассмотрен на страницах 16, 17, 23.
31 – 40. Чтобы определить, являются ли векторы линейно независимыми, нужно найти ранг матрицы, составленной из их координат.
41 – 50. Исследование систем линейных уравнений производится на основании теоремы Кронекера-Капелли (стр. 24).
Пример нахождения бесконечного множества решений систем линейных уравнений приведён на странице 20.
51 – 60. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг матрицы её коэффициентов меньше числа неизвестных.
61
– 70. Чтобы
найти собственные числа и собственные
векторы матрицы
,
нужно решить уравнение
и затем для каждого из найденных
собственных чисел решить систему
однородных линейных уравнений
.
71 – 80. Соответствующий пример рассмотрен на странице 25.
81 – 90. В задаче б) рассматривается квадратичная форма с тремя переменными, соответствующий пример приведён на странице 36.
Задача а) существенно легче, так как в ней идёт речь о квадратичной форме с двумя переменными.
91 – 100. Вектор может быть задан одним из следующих способов:
1) координатами, 2) заданием начала и конца, 3) в виде линейной комбинации базисных векторов.
В
задаче вектор
задан в виде линейной комбинации базисных
векторов, вектор
– координатами начала и конца. Поэтому
сначала нужно найти координаты этих
векторов, а также координаты вектора
.
Затем следует использовать условия перпендикулярности и коллинеарности векторов, а также формулу для вычисления длины вектора. Нужные формулы можно найти на страницах 41 – 43.
101
– 110. Для
решения этой задачи нужно использовать
уравнение
(уравнение плоскости, проходящей через
точку M0
перпендикулярно вектору
),
канонические
и параметрические
,
,
уравнения прямой, а также тот факт, что
уравнение
задаёт плоскость, перпендикулярную
вектору
,
а неравенство
– открытое полупространство, определяемое
этой плоскостью и этим вектором.
Библиографический список
Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II. М., Высшая школа, 1999.
Шипачёв В. С. Высшая математика. М., Высшая школа, 2003.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Москва, «Наука», 1984, 1980.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Москва, «Наука», 1988.
Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.
Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987.
Натансон И. П. Краткий курс высшей математики. СПб., «Лань», 2001.
Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов. М., ЮНИТИ, 2002.
Апатёнок Р. Ф. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. Минск, «Вышейшая школа», 1990.
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, часть I. Москва, «Наука», 1988.