Контрольные задания Контрольная работа № 1
1 – 10. Решить систему уравнений тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса-Жордана, средствами матричного исчисления. Сделать проверку правильности вычисления обратной матрицы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11 – 20. Даны векторы a, b, c и d. Показать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.
11. a (1, –1, 4 ), b (3, –2, –1 ), c (–2, 1, –1 ), d (5, –3, 6 ).
12. a (1, –2, 3 ), b (2, –1, –1 ), c (–1, 3, –1 ), d (3, 0, –5 ).
13. a (1, –5, 2 ), b (1, –4, –1 ), c (–2, 1, –3 ), d (4, –11, 7).
14. a (1, –2, 2 ), b (3, –5, –1 ), c (–1, 1, –2 ), d (5, –7, 3 ).
15. a (1, –3, 2 ), b (2, –5, –1 ), c (–3, 1, –2 ), d (7, –11, 0 ).
16. a (1, 2, –2 ), b (1, –1, 3 ), c (–2, 3, –1), d (–1, 4, –8 ).
17. a (1, 3, –1 ), b (2, –1, 4 ), c (–1, 2, –1 ), d (–3, –4, 1 ).
18. a (1, 4, –2 ), b (1, –1, –1 ), c (–4, 3, 1 ), d (–1, –9, 3).
19. a (1, 5, –1 ), b (1, 3, –2 ), c (–2, 1, 1), d (1, 1, –3 ).
20. a (1, 3, –1 ), b (2, –1, 5 ), c (–1, 2, –1 ), d (0, 7, –7).
21 – 30. Найти ранг матрицы.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31 – 40. Являются ли данные векторы линейно независимыми? Если нет, укажите максимальное число линейно независимыми векторов из четырёх данных.
31.
,
32.
,
,
,
,
,
.
.
33.
,
34.
,
,
,
,
,
.
.
35.
,
36.
,
,
,
,
,
.
.
37.
,
38.
,
,
,
,
,
.
.
39.
,
40.
,
,
,
,
,
.
.
41 – 50. Выберите из данных двух систем совместную и найдите все её решения.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51 – 60. Имеет ли данная однородная система линейных уравнений ненулевые решения?
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
Контрольная работа № 2
61 – 70. Найти собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы второго порядка.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71 – 80. Найти собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы третьего порядка.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81 – 90. Привести квадратичную форму к стандартному виду двумя способами: методом Лагранжа и при помощи ортогонального преобразования. Выписать матрицы соответствующих преобразований. Определить, является ли данная квадратичная форма положительно или отрицательно определённой, полуопределённой, неопределённой.
81.
а)
;
82. а)
;
83. а)
;
б)
.
б)
б)
84.
а)
;
85. а)
86.
а)
б)
б)
б)
87.
а)
;
88. а)
;
б)
.
б)
.
89.
а)
;
90. а)
;
б)
б)
91
– 100. Даны
координаты точек A
и
B,
векторы
и
.
Являются ли векторы
и
перпендикулярными? Найти |
+
|.
Коллинеарны ли векторы
и
+
?
91.
A
(1,
0, –2);
B
(6, 1, –3);
(3, –2, 0);
= 2
+3
–
4
.
92. A (2, – 4, 3); B (– 8, –2, 5); (0, 1, –2); = 5 –2 + .
93. A (3, –3, 1); B (– 4, 2, 2); (1, 0, –3); = 6 – 5 +2 .
94.
A
(4,
–1, 2);
B
(0, 3, –1);
(–1, 2, 4);
= 2
+3
–
.
95. A (5, 0, –2); B (4, 2, 0); (–2, 3, 1); = + –2 .
96. A (–1, 2, 3); B (1, 1, 3); (4, 0, –1); = –2 + .
97. A (–2, 0, –14); B (4, 6, 1); (3, –1, 2); = – +3 +3 .
98. A (–3, 3, 1); B (4, 2, 3); (2, –3, 2); = 5 +2 –2 .
99. A (– 4, 2, 3); B (–1, 11, 3); (–3, 4, 1); = 5 +2 – .
100. A (–5, 1, 0); B (1, 0, –2); (0, 2, –1); = + – .
101
– 110. Даны
плоскость
,
вектор
,
точка M.
Найти: а) уравнение плоскости β, проходящей
через точку M
параллельно плоскости α; б) уравнение
плоскости γ, проходящей через начало
координат перпендикулярно вектору
;
в) канонические и параметрические
уравнения прямой, проходящей через M
перпендикулярно плоскости α. Принадлежит
ли точка M
открытому полупространству, определяемому
плоскостью γ и вектором
?
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
