Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число, которое обозначается как или и вычисляется по формуле , где – угол между векторами и .

Скалярное произведение, очевидно, обладает переместительным свойством, то есть .

Скалярное произведение можно найти по координатам векторов.

Пусть даны векторы и . Раскладывая и по базису и раскрывая скобки¹, получим

В силу того что , только первое, пятое и последнее слагаемые отличны от нуля, а так как , их сумма равна . Таким образом, получена формула:

.

При помощи скалярного произведения легко сформулировать условие перпендикулярности векторов: для того чтобы векторы были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение обращалось в ноль.

Действительно^**, или, в координатной форме, .

(Символ имеет смысл «необходимо и достаточно» или «тогда и только тогда».)

Определение ортогональности алгебраических векторов, тесно связано с условием перпендикулярности геометрических векторов. Действительно, если , а , то определение ортогональности, , введённое нами ранее, совпадает¹ с условием перпендикулярности, так как .

Понятие нормированности алгебраического вектора также связано с геометрией. Для вектора нормированность означает, что , иными словами квадрат длины геометрического вектора , равен единице. Так что нормированный вектор – это алгебраический аналог вектора единичной длины.

Прямая и плоскость в пространстве

M0 α M

Выведем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Обозначим эту плоскость через α. По условию ( – знак принадлежности), . Пусть – произвольная точка пространства.

.

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

l

Выведем канонические уравнения прямой l, проходящей через точку параллельно вектору .

Пусть – произвольная точка пространства.

.

Уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Если принять за параметр t числовое значение, которое принимает каждая из этих трёх равных дробей для точки прямой, то есть положить , то из равенств , и получаем равенства , , , которые называются параметрическими уравнениями прямой ( ).

Общее уравнение плоскости

Т е о р е м а. Уравнение (при ) задаёт в пространстве плоскость, перпендикулярную вектору .

Доказательство. Возьмём точку , координаты которой удовлетворяют рассматриваемому уравнению, то есть имеет место равенство . Выразим из этого равенства D и подставим его в исходное уравнение. Будем иметь , или . А это и есть, как мы знаем, уравнение плоскости, перпендикулярной вектору .

Осталось пояснить, что нужная нам точка обязательно найдётся. Действительно, если , положим . Если , положим . Если , то (в силу условия ), и в качестве можно взять точку с координатами .

Тот же приём используется при доказательстве того факта, что линейное неравенство задаёт открытое полупространство α⁺, определяемое плоскостью α: и вектором . Неравенство приводится к виду . Геометрический смысл этого неравенства состоит в том, что . Это значит, что угол острый, и, следовательно .

Противоположное неравенство задаёт полупространство , определяемое плоскостью α и вектором .

Очевидно, что выражение принимает во всех точках плоскости одно и то же значение, равное – D. При параллельном переносе этой плоскости в направлении вектора значение увеличивается, так как в полупространстве α⁺ выполняется неравенство , и, следовательно, становится больше – D. Эти свойства плоскости используются в линейном программировании.