Знакоопределённые квадратичные формы

Квадратичная форма называется положительно определённой, если при любом , отличном от 0, она принимает положительное значение. Квадратичная форма называется отрицательно определённой, если принимает только отрицательные значения (при ).

Положительно и отрицательно определённые квадратичные формы называются знакоопределёнными.

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределённой, если все её значения не отрицательны (не положительны) и она обращается в 0 не только при .

Если квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, она называется неопределённой.

Так как приведение квадратичной формы к каноническому виду осуществляется при помощи линейной замены с невырожденной матрицей, ненулевому X отвечает ненулевой Y и наоборот. Поэтому верны следующие утверждения.

Для того чтобы квадратичная форма с n переменными была положительно (отрицательно) определённой, необходимо и достаточно, чтобы после приведения её к каноническому виду все n коэффициентов были положительными (отрицательными).

Для того чтобы квадратичная форма с n переменными была положительно (отрицательно) полуопределённой, необходимо и достаточно, чтобы после приведения к стандартному виду все её коэффициенты были неотрицательными (неположительными), но хотя бы один из них был равен нулю.

Для того чтобы квадратичная форма была неопределённой, необходимо и достаточно, чтобы после приведения к стандартному виду она содержала как положительные, так и отрицательные коэффициенты.

квадратичная форма из рассмотренного выше примера, равная , является, очевидно, неопределённой. При её значение положительно, а при отрицательно. соответствующие X₁ и X₂ находят их системы .

Элементы аналитической геометрии1

Термин «вектор» привнесён в линейную алгебру из геометрии. Под вектором изначально понимался геометрический вектор. Но поскольку геометрический вектор полностью определяется тремя числами, тройки чисел, а затем и наборы из n чисел, стали называть алгебраическими векторами. Векторами называют также элементы n-мерного линейного пространства. Обычно из контекста бывает ясно, какие именно векторы имеются в виду. Далее речь пойдёт, в основном, о геометрических векторах.

Векторы. Линейные операции над векторами

B A

Пусть в пространстве даны точки A и B. соединяющий их отрезок, называется направленным отрезком, если одна из точек считается его началом, а другая – концом. Если A – начало, а B – конец, то такой направленный отрезок обозначается . Направленные отрезки называются векторами. Вектор можно обозначать маленькой буквой с чёрточкой наверху. На чертеже направление вектора указывается стрелкой.

Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны или ле-

жат на одной прямой. Коллинеарность векторов обозначается значком | |.

Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными (↑↑) или противоположно направленными (↑↓).

Векторы и называются равными ( ), если (они сонаправлены) и (равны по длине). Равенство векторов обладает следующими свойствами: каждый вектор равен самому себе; если вектор равен вектору , то и равен ; если и , то .

Равные векторы можно получить друг из друга при помощи параллельного переноса.

В дальнейшем будем отождествлять равные векторы, считая их одним и тем же вектором, отложенным от разных точек пространства.

Исходная позиция Новая точка зрения Три равных вектора: . Один и тот же вектор, отложенный от разных точек пространства

Обычно в связи с таким изменением понятия вектора недоразумений не возникает.

Пусть имеется два вектора: и . Отложим вектор от какой-нибудь точки пространства и перенесём вектор параллельно так, чтобы его начало совпало с концом вектора , тогда вектор, идущий из начала вектора в конец вектора , называется суммой векторов и . При сложении векторов роль нулевого (от прибавления которого ничего не меняется) играет так называемый вырожденный вектор, начало и конец которого совпадают. Этот вектор обозначается как . Чтобы умножить вектор на число λ, нужно увеличить его длину в λ раз, если . Если же , то длину вектора нужно увеличить в раз и изменить его направление на противоположное.

Умножение вектора на число тесно связано с коллинеарностью векторов. для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы один из них отличался от другого числовым множителем.

Сложение векторов и умножение вектора на число, то есть линейные операции над векторами, обладают следующими свойствами:

1. а) б) в) г)

   ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. .

Рисунки а), б), в) и г) иллюстрируют первое, второе, восьмое и четвёртое свойства. Рисунок а) показывает также, что векторы можно складывать по правилу параллелограмма: суммой векторов, приведённых к одному началу, служит диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах.

В силу свойств 1 – 8 множество векторов с введёнными для его элементов линейными операциями является линейным пространством.