Линейные операторы

Пусть каждому элементу x из некоторого линейного пространства L поставлен вполне определённый элемент y = A(x) из линейного пространства M, причём A(x₁+x₂) = A(x₁) + A(x₂) и A(λx)= λ A(x), где λ – число. Тогда говорят, что на линейном пространстве L задан линейный оператор A со значениями в M.

Если L и M конечномерны, n и m – их размерности, а и – их базисы, то действие оператора A сводится к умножению слева координатного представления элемента x на матрицу, столбцами которой являются координатные представления образов базисных векторов. Покажем это.

Пусть A(e_i)= , а Тогда

+ …+ x_n( ) = +…+ .

Таким образом, y =A(x) представляется в базисе вектором , то есть Y = AX , где A = ,

так что действие оператора A действительно сводится к умножению слева столбца X на матрицу A.

Если линейный оператор действует из L в L, то матрица A будет квадратной. В дальнейшем, учитывая, что , будем отождествлять элемент x пространства с алгебраическим вектором X, а действие оператора A на x – с умножением вектора X на матрицу A.

Собственными векторами и собственными числами линейного оператора, действующего из L в L, называются собственные векторы и собственные числа соответствующей матрицы.

примером линейного оператора может служить перестановка двух координат вектора X, x_i и x_j. Матрицей такого оператора является матрица, получающаяся из единичной перестановкой i-го и j-го столбцов.

Скажем, чтобы поменять местами четвёртый и первый элементы вектора (–4, 0, –6, 7, 3)^Τ (числа 7 и – 4), достаточно умножить его слева на матрицу , действительно, .

Квадратичные формы Матричная запись квадратичной формы

Выражение вида называется квадратичной формой с n переменными .

Квадратичная форма может быть представлена в матричной форме как произведение X ^ΤAX, где , а A – матрица, элементами которой являются коэффициенты α _{i j}. Матрица A, вообще говоря, не обязана быть симметричной.

Квадратичную форму можно симметризовать, то есть преобразовать её так, чтобы матрица коэффициентов стала симметричной.

С этой целью пары слагаемых вида ( ) представим как + . Полагая, что , получаем, что , так что исходная квадратичная форма оказывается тождественно равной новой квадратичной форме обладающей свойством . Пусть , тогда = X ^ΤAX. Так как , матрица A симметрична.

Докажем, что представление квадратичной формы в матричном виде, если соответствующая матрица симметрична, единственно.

Пусть X ^ΤAX=X ^ΤBX. Подставляя в это равенство вместо X единичные векторы, получим, что диагональные элементы матриц A и B равны. Чтобы показать, что при , вместо X следует подставить вектор, все элементы которого, за исключением i-го и j-го, равных единице, обращаются в ноль. Получим равенство , из которого, в силу симметричности матриц A и B и равенства их диагональных элементов, следует, что и, значит, эти матрицы одинаковы.

В дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать, что рассматриваемые квадратичные формы симметризованы.

Правильной формой записи квадратичной формы называется выражение

.

Например, квадратичная форма выглядит в симметричной форме так: . Её матрица . Приведём правильную форму записи данной квадратичной формы: или .

Пусть P – некоторая невырожденная квадратная матрица. От переменных можно перейти к переменным по формуле (или¹ ), где . Такая замена переменных называется линейной. Эта замена преобразует квадратичную форму X ^ΤAX в квадратичную форму Y ^ΤA' Y (элементами симметричной матрицы A' служат коэффициенты ).

Чтобы установить связь между матрицами A' и A, подставим в квадратичную форму X ^ΤAX вместо X произведение PY. Получим, что X ^ΤAX = =(PY)^ΤA(PY) =Y ^ΤP^ΤAPY=Y ^ΤA'Y . В силу единственности матричного представления квадратичной формы, A' = P^ΤAP.