4. Методы проверки опорного плана на оптимальность

4.1. Потенциалы. Критерий оптимальности плана

Итак, наша транспортная задача имеет вид:

Распишем нашу задачу в векторной форме. Для этого введем векторы

Тогда ограничения задачи (3) могут быть записаны в виде

Как уже говорилось выше, одно из этих ограничений является лишним, и оно может быть вычеркнуто.

Рассмотрим теперь двойственную задачу. Так как ограничений всего m + n, то и соответствующие переменные двойственной задачи обозначим так: (переменные, соответствующие первым m ограничениям) и (переменные, соответствующие последним n ограничениям). Тогда, учитывая вид векторов и вид вектора , запишем двойственную задачу в следующем виде:

Величины называются потенциалами складов, а величины  потенциалами пунктов потребления.

Так как одно из ограничений является лишним, то на самом деле одного из потенциалов нет. Для сохранения симметрии всех формул и обозначений можно просто полагать, скажем, .

Пусть теперь  оптимальный опорный план транспортной задачи. Тогда, согласно теореме двойственности, должно выполняться условие

Это и позволяет проверить оптимальность любого опорного плана.

Сам алгоритм выглядит следующим образом:

1. Один из потенциалов задается произвольно, скажем, полагается .

2. Рассматривается система линейных уравнений вида для тех наборов индексов i , j , для которых , и находятся потенциалы и всех складов и всех пунктов потребления.

3. Для всех остальных наборов индексов i , j (для которых ) проверяется условие .

Если это условие выполняется для всех наборов индексов i , j , для которых , то рассматриваемый план является оптимальным. Если же, хотя бы для одной пары , то план не оптимален.

Прежде, чем приводить пример, расскажем о том, как реализуется пункт 2 этого алгоритма, когда находятся потенциалы и . Обычно он реализуется следующим образом:

1. Одна из величин или задается произвольно, например, полагается .

2. Затем рассматриваются уравнения вида для тех j , для которых . Так как известно, то находятся для некоторого множества индексов .

3. Для этих индексов рассматриваются уравнения вида:

для тех , которые больше нуля. Так как известны, тот находятся величины для некоторого множества индексов .

4.  Далее повторяются пункты 2 (движение по строкам) и 3 (движение по столбцам), пока не определятся все потенциалы.

Проиллюстрируем этот процесс примером, а заодно покажем форму записи результатов при ручном счете.

Пример

Пусть имеется три склада с запасами и четыре пункта потребления с потребностями . Коэффициенты , определяющие стоимость перевозок, заданы матрицей:

Таблица стоимостей перевозок

	Пункты потребления
Ск	3	5	4	5
ла	1	2	4	3
ды	1	5	6	3

Построим исходный опорный план методом северо-западного угла. Он имеет вид

2	3.1	0	0
0	3.9	4.2	0
0	0	2.8	6.3

План имеет 6=3+4-1 компонент, поэтому он является невырожденным. Заметим, что для него транспортные расходы равны .

Заготовим матрицу размером (в нашем случае размером 3 4), в которую впишем те коэффициенты , которые соответствуют ненулевым перевозкам нашего плана (смотрите следующую страницу).

Далее действуем следующим образом:

1. Полагаем

   	3	5
   		2	4
   			6	3

2.   Идем по строке.

   , следовательно ;
   , следовательно .

3. Идем по столбцу.

   , следовательно .

4. Идем по строке.

   , следовательно .

5. Идем по столбцу.

   , следовательно .

6. Идем по строке.

, следовательно .

Таким образом, определились потенциалы всех пунктов  и складов и пунктов потребления. Теперь можно закончить заполнение этой таблицы, вписав в пустые клетки суммы , то есть суммы соответствующих потенциалов. В результате получим:

	3	5	7	4
0	3	5	7	4
-3	0	2	4	1
	2	4	6	3

В ней жирным шрифтом помечены те , которые использовались для нахождения потенциалов.

Сравнивая с матрицей величин мы видим, что условие оптимальности плана нарушено в двух местах  для и . Следовательно, построенный нами план перевозок не является оптимальным.