1. Пространство элементарных событй. Случайные события. Алгебра событий.

Под событием в теории вероятности понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Простейшие неразложимые результаты опыта, называются элементарными событиями. Вся совокупность элементарных событий образует пространство элементарных событий. Событие – любое конечное (счетное) подмножество пространства элементарных событий. Случа́йное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. Множество σ называется алгеброй событий, если σ множество всех подмножеств множества ω, для которых выполняется следующие условия:

1. А, В σ А+В σ

2. А, В σ А*В σ

3. А σ σ

2. Статистический подход к введению понятия вероятности.Классическое определение вероятности.

Статистическое определение вероятности. Пусть производится серия опытов (n), в результате которых событие А наступает m раз число - частота наступления события А, тогда под вероятностью события А будем понимать предел при Р(А)=

Классическое определение вероятности. Пусть пространство элементарных событий  Е  состоит из  N  равновозможных элементарных событий, среди которых имеется  n  событий, благоприятствующих событию  А , тогда число Р ( А ) = n / m называется вероятностью события  А .

3. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Предположим, что m случаев благоприятны событию А, а k событию В, тогда Р(А)=m\n; Р(В)=k\n. Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны А и В вместе. Следовательно, событию А+В благоприятны m+k случаев и Р(А+В)=( m+k)\n

Теорема умножения. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии что первое имело место. Р(АВ)=Р(А)Р(В\А). предположим что событию А благоприятны m случаев, а В – k. Т.к.мы не предполагали события А и В несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и для А и для В одновременно. Пусть число таких случаев l, тогда Р(АВ)=l\n, Р(А)=m\n. Р(В\А) – условная в-ть события, в предположении что А имело место. Если известно что событие А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m,которые благоприятствовали событию А. из них l случаев благоприятны событию В, следовательно Р(А\В)=l\m

4. Аксиоматическое введение вероятности. Дискретное вероятностное пространство.

Аксиоматическое определение вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий  Е  и каждому событию  А Е  поставлено в соответствие единственное число Р ( А ) такое, что:

Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р ( А ) называется вероятностью события  А .

5. Формула полной вероятности.

Предположим, что событие В может произойти с одним и только с одним из n несовместных событий А1, А2, …, Аn, образующих полную группу событий (Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1), т.е. В= , ВА_i и ВА_j несовместны при i≠j по т. Сложения Р(В)= , а по т. умножения Р(В)= - формула полной вероятности.

6. Формула Байеса.

Пусть произошло событие В; А1, А2, …, Аn – гипотезы. Найдем вероятность гипотезы Р(А_i) при условии, что событие В произошло.

; . Используя формулу полной вероятности получим - формула Байеса.

7. Независимость событий.

События А и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А) Р(В). Несколько событий А, В, С,… называются независимыми, если вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей осуществления каждого из них в отдельности: Р(АВС…) = Р(А)Р(В)Р(С)…

8. Прямое произведение вероятности пространств.

Прямым произведением пространств исходов и называется пространство исходов обозначаемое , состоящее из упорядоченных пар исходов , где , .

9. Последовательности независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли.

Пусть выполняется некоторый эксперимент (испытание) . В результате этого эксперимента происходит событие с вероятностью . Если событие произошло, то говорят, что результатом испытания был “успех” , а в противном случае, говорят, что в результате испытания имела место “неудача”. Вероятность “неудачи” обозначают . Ясно, что . Казалось бы, это бедная модель, но на самом деле, она обслуживает большое число ситуаций. Например, успел – не успел, выбрали – не выбрали, сдал экзамен – не сдал экзамен и т.п.

Если имеются такие условия, что испытание может повторяться неограниченное число раз с неизменной вероятностью “успеха” , причём, исход следующего испытания не зависит от исходов предыдущих испытаний, то говорят, что рассматривается последовательность испытаний Бернулли. Иногда, подчёркивая независимость последовательных испытаний, говорят – последовательность независимых испытаний Бернулли.