7. Свойства средней арифметической. Порядок расчета среднего значения признака в вариационных рядах. Правило выбора вида средней

Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. ЕЕ вычисление сводится к суммированию всех значений варьирующегося (изменяющегося) признака и деление полученной суммы на общее количество единиц совокупности (объем ряда).

Когда значение вариантов встречается в совокупности несколько раз (то есть для сгруппированных данных), следует пользоваться средней арифметической взвешенной.

Вид средней степенной	Простая (по несгруппированный данным)	Взвешенная (по сгруппированный данным)
Xcр кв	=(∑Xi2/n)1/2	=(∑Xi2*fi/∑fi )1/2

Свойства средней арифметической: (жирным шрифтом выделены средние)

1. Средняя константа равна самой константе:

c = const(c)

2. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариантов на частоты.

X ∑ f = ∑ Xf

3. Изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же величину:

(∑( X±А)f)/ ∑f = X±A *(∑Xf/∑f) + (A∑f/∑f)

4. Изменение каждого варианта на одно и то же число раз изменяется средняя на столько же раз:

∑( X/с)f)/ ∑f = X/с

5. Изменение каждого из «весов» в одно и то же количество раз не изменяет величины средней:

∑X(f*с)/ ∑f *с = X

6. Алгебраическая сумма отклонений всех вариантов от средней равны нулю:

∑(X_i – X)*f =0

7. Средняя сумма равна сумме средних:

X + Y (под общим верхним подчеркиванием) = X +Y

8. Сумма квадратов отклонений вариантов от средней арифметической меньше, чем от любой другой величины (принцип наименьших квадратов):

С = ∑(X_i – X)²= min

Алгоритм расчета среднего значения признака:

1. Расчет среднего значения признака по интервалу (полусумма границ интервала). Используется допущение о равномерности распределения признака внутри интервала

2. Закрытие интервалов с открытой границей длине смежного интервала.

3. Общая средняя равна средней из групповых средних.

Правило выбора вида средней:

Если кроме вариантов (x) заданы и используются в качестве «весов» показатели, находящиеся в знаменателе исходного отношения (дроби), то есть f, то следует использовать формулу средней арифметической. Если же в качестве «весов» используются показатели, находящиеся в числителе исходного отношения (w), что расчет средней производится по формуле средней гармонической.

8. Метод «моментов» (отсчета от условного ноля). Сущность. Порядок применения.

Метод моментов — метод оценки неизвестных параметров распределений в математической статистике и эконометрике, основанный на предполагаемых свойствах моментов (Пирсон, 1894 г.). Идея метода заключается в замене истинных соотношений выборочными аналогами.

(∑(X_j – A)^m * f_j)/ ∑ f_j

где А – величина, от которой определяются отклонения, m – степень отклонения (порядок момента)

В зависимости от величины А различают 3 вида моментов:

- начальные моменты, когда А = 0 – степенные средние;

- центральные моменты, при А = X_ср – например, дисперсия (m=2,3,4…);

- условные моменты, при А ≠ X_ср и А ≠ 0

Центральный момент 2-ого порядка – дисперсия (служит основной мерой вариации признака).

Центральный момент 3-ого порядка = 0 в симметричном распределении и используется для определения показателя ассиметрии.

Центральный момент 4-ого порядка применяется при вычислении показателя эксцесса.

Обычно начальные и условные моменты порядка выше 1-ого носят вспомогательный характер и самостоятельного значения не имеют (применяют для расчета центральных моментов, например, «упрощенный способ» расчета дисперсии).