6. Средние величины в статистике. Виды степенных средних

Средняя величина – показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

Средние величины отражают то общее, что характерно для всех единиц совокупности, в то же время он игнорируют те различия, которые наблюдаются у отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их.

Средняя величина имеет конкретный экономический смысл лишь как средняя для качественно однородной совокупности (основное требование при исчислении средней величины). При этом одна и та же совокупность в зависимости от аспекта рассмотрения может быть однородной и разнородной.

Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней.

Используются две категории средних величин:

- степенные средние (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая и средняя геометрическая);

- структурные средние (мода, медиан, квартиль, дециль).

Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.

Вид средней степенной	Простая (по несгруппированный данным)	Взвешенная (по сгруппированный данным)
Xcр кв	=(∑Xi2/n)1/2	=(∑Xi2*fi/∑fi )1/2

Средняя гармоническая. Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.

Вид средней степенной	Простая (по несгруппированный данным)	Взвешенная (по сгруппированный данным)
Xcр ариф	=∑Xi/n	=∑Xi*fi/∑fi

Средняя геометрическая. Чаще всего средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000).

Вид средней степенной	Простая (по несгруппированный данным)	Взвешенная (по сгруппированный данным)
Xcр геом	=(Пxi)1/n П-умножение	=(Пxi fi) 1/∑fi

Средняя квадратическая величина. Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения).

Вид средней степенной	Простая (по несгруппированный данным)	Взвешенная (по сгруппированный данным)
Xcр гарм	=(n/∑1/xi)	=(∑fi /∑fi /xi)