Симплекс-таблицы для решения задач линейного программирования. Метод искусственного базиса (м-метод)

Описанный в предыдущей Лекции 5 процесс решения ЗЛП симплекс-методом довольно трудоемкий и требует выполнения однообразных преобразований. Причем с возрастанием числа неизвестных растет и число шагов.

Оказывается, эти преобразования можно записать в виде последовательности однотипно заполненных таблиц, называемых симплекс-таблицами.

Изложим способ составления и преобразования таких таблиц на примерах первой и второй основных задач из Лекции 5.

1. Первая основная задача.

Для заполнения первой симплекс-таблицы необходимо переписать целевую функцию F и систему ограничений (5.4) в виде:

(6.1)

Заполним таблицу 6.1

Таблица 6.1

Базисные неизвестные	Свободные члены
	42		1	1	0	0
	48	1	2	0	1	0
	72	1	4	0	0	1
F	0	–25	–34	0	0	0

В выражении для F выясняем, имеются ли в последней строке таблицы, кроме столбца «свободные члены», отрицательные числа. Если таковых нет, то задача решена. Если же есть, то выполняем преобразование: в столбце имеем (из двух отрицательных чисел –25 и –34 выбирают меньшее по модулю), над этим элементом ищем положительные числа. Если таковых нет, то задача не имеет решения. В нашем случае над –25 есть три положительных числа: 1; 1 и 1.

Найдем

.

Элемент, стоящий на пересечении строки ( ) и столбца ( ), называем разрешающим. В нашем случае он равен 1. (Если разрешающий элемент равен числу , то всю строку делят на разрешающий элемент m, чтобы получить 1). Неизвестная вводится в базис, а неизвестная выводится из него.

Заполняем вторую симплекс-таблицу. Строка ( ) из первой таблицы становится в ней строкой ( ). Далее преобразуем строки ( ), ( ) и (F) первой таблицы так, чтобы их элементы, стоящие в столбце ( ), обратились в 0. С этой целью

1. вычтем элементы строки ( ) из соответствующих элементов строки ( ), и запишем полученные результаты в строку ( ) второй таблицы;

2. вычтем элементы строки ( ) из соответствующих элементов строки ( ), и запишем полученные результаты в строку ( ) второй таблицы;

3. умножим элементы строки ( ) на 25, сложим с соответствующими элементами строки (F), и запишем полученные результаты в строку (F) второй таблицы.

В результате получим следующую симплекс-таблицу 6.2

Таблица 6.2

Базисные неизвестные	Свободные члены
	42	1	1	1	0	0
	6	0		–1	1	0
	30	0	3	–1	0	1
F	1050	0	–9	25	0	0

В строке (F) есть отрицательное число –9. Поэтому продолжим поиск оптимального решения. Над –9 есть три положительных числа: 1; 1 и 3.

Найдем

.

Элемент, стоящий на пересечении строки ( ) и столбца ( ) разрешающий и равен 1. Неизвестная вводится в базис, а неизвестная выводится из него.

Заполняем третью симплекс-таблицу. Строка ( ) из второй таблицы становится в ней строкой ( ). Далее преобразуем строки ( ), ( ) и (F) второй таблицы так, чтобы их элементы, стоящие в столбце ( ), обратились в 0. С этой целью

1. вычтем элементы строки ( ) из соответствующих элементов строки ( ), и запишем полученные результаты в строку ( ) третьей таблицы;

2. умножим элементы строки ( ) на 3, вычтем из соответствующих элементов строки ( ), и запишем полученные результаты в строку ( ) третьей таблицы;

3. умножим элементы строки ( ) на 9, сложим с соответствующими элементами строки (F), и запишем полученные результаты в строку (F) третьей таблицы.

В результате получим следующую симплекс-таблицу 6.3

Таблица 6.3

Базисные неизвестные	Свободные члены
	36	1	0	2	–1	0
	6	0	1	–1	1	0
	12	0	0	2	–3	1
F	1104	0	0	16	9	0

В строке (F) нет отрицательных чисел, кроме столбца «свободные члены». Получили оптимальное решение:

при , , , .

Замечание. Симплекс-таблицы удобнее «пристыковывать» друг к другу по вертикали, что позволяет не писать многократно заглавную строку.

2. Вторая основная задача.

Для заполнения первой симплекс-таблицы перепишем целевую функцию f (5.15) и систему ограничений (5.14), имеющую допустимый вид, следующим образом:

(6.2)

Заполним таблицу 6.4

Таблица 6.4

Базисные неизвестные	Свободные члены
	9	3	1	0	–1	0
	21		0	1	–3	0
	64	23	0	0	–8	1
f	144	40	0	0	–16	0
	1,125	0	1	–0,375	0,125	0
	2,625	1	0	0,125	–0,375	0

Окончание таблицы 6.4

	3,625	0	0	–2,875	0,625	0
f	39	0	0	–5	–1	0

Выясняем, имеются ли в последней строке таблицы, (f) кроме столбца «свободные члены», положительные числа. Если таковых нет, то задача решена. Если же есть, то выполняем преобразование: в столбце имеем . Над этим элементом ищем положительные числа. Если таковых нет, то задача не имеет решения. В нашем случае над 40 есть три положительных числа: 3; 8 и 23.

Найдем

Элемент, стоящий на пересечении строки ( ) и столбца ( ) разрешающий и равен 8. Неизвестная вводится в базис, а неизвестная выводится из него. Все элементы строки ( ) разделим на разрешающий элемент. Полученные результаты запишем в новую симплекс-таблицу в строке ( ).

Преобразуем строки ( ), ( ) и (f) первой таблицы так, чтобы их элементы, стоящие в столбце ( ), обратились в 0. С этой целью

1. умножим элементы строки ( ) на 3, вычтем из соответствующих элементов строки ( ), и запишем полученные результаты в строку ( ) второй таблицы;

2. умножим элементы строки ( ) на 23, вычтем из соответствующих элементов строки ( ), и запишем полученные результаты в строку ( ) второй таблицы;

3. умножим элементы строки ( ) на 40, вычтем из соответствующих элементов строки (f), и запишем полученные результаты в строку (f) второй таблицы.

В строке (f) нет положительных чисел, кроме столба «свободные члены». Получили оптимальное решение:

при , , , .

Замечание. Первая симплекс-таблица второй основной задачи была заполнена с учетом того, что система ограничений (5.11) была предварительно сведена к допустимому виду (5.14), т. е. был найден допустимый базис. Зачастую поиск такого базиса довольно затруднителен. Рассмотрим следующий метод нахождения допустимого базиса, который называют методом искусственного базиса или М-методом.

Метод искусственного базиса (М-метод).

Применительно к рассматриваемой задаче М-метод заключается в следующем. В каждое уравнение системы ограничений (5.11), введем свою новую искусственную неизвестную: , и . Включим их в число базисных неизвестных и составим новую функцию цели

, (6.3)

где М – произвольно большое положительное число.

В результате получили следующую ЗЛП, приведенную к допустимому виду

(6.4)

(6.5)

. (6.6)

Задачу (6.4) – (6.6) называют М-задачей.

Сформулируем утверждения, устанавливающие связь между решениями исходной задачи и М-задачи.

1. Если в оптимальном решении М-задачи все искусственные неизвестные равны 0, то соответствующие значения остальных переменных дают оптимальное решение исходной задачи (т. е. , если ).

2. Если имеется оптимальное решение М-задачи, в котором хотя бы одна из искусственных переменных отлична от 0, то исходная задача не имеет допустимого решения.

3. Если М-задача не имеет оптимального решения, то исходная задача неразрешима (т. е. если , то либо , либо нет ни одного допустимого решения).

Из этих утверждений следует следующее правило решения M-задачи симплекс-методом:

а) Необходимо выбирать последовательность шагов таким образом, чтобы все искусственные неизвестные , , вышли из базиса, т. е. стали свободными.

б) В симплекс-таблице отбросив столбцы для этих неизвестных, получим симплекс-таблицу, дающую оптимальное решение исходной задачи.

в) Если при решении М-задачи получена симплекс-таблица, дающая оптимальное решение, и в этой таблице хотя бы одна искусственная неизвестная входит в базис, причем в строке для свободный член положителен, то исходная задача не имеет ни одного допустимого решения.

Составим симплекс-таблицы 6.5 решаемой задачи.

Таблица 6.5

Базисные неизвестные	Свободные члены
	6	1	3	–1	0	0	1	0	0
	9	3	1	0	–1	0	0	1	0
	8	1		0	0	–1	0	0	1
G							0	0	0
	3		0	–1	0		1	0
	8		0	0	–1		0	1
	1		1	0	0		0	0
G			0				0	0
		0	0	–1			1
		1	0	0			0
		0	1	0			0
G		0	0				0
		0	0			1			–1
		1	0			0			0
		0	1			0			0
G	39	0	0	–5	–1	0

В строке (G) нет положительных элементов (кроме столбца «свободные члены»). Все искусственные неизвестные , и вышли из базиса. Задача решена. Получили оптимальное решение:

при , , , .