Симплекс-метод для решения задач линейного программирования

С увеличением числа неизвестных геометрический метод решения ЗЛП становится затруднительным при трех переменных и невозможным при большем числе переменных.

Поэтому был разработан универсальный метод решения ЗЛП – симплекс-метод, позволяющий решать ЗЛП в канонической форме.

Изложим суть симплекс-метода на примере задач с 5 неизвестными.

Пусть ЗЛП приведена к виду

(5.1)

при ограничениях:

, (5.2)

где ,

. (5.3)

Про систему ограничений (5.2) говорят, что она имеет допустимый вид, если одни неизвестные выражаются через остальные , причем свободные члены этих выражений неотрицательны .

Неизвестные и называются базисными, а неизвестные – свободными.

Возможны два принципиальных случая:

1 Все коэффициенты при свободных неизвестных в выражении для F неположительны: и . Тогда для всякого неотрицательного решения системы уравнений (5.2) имеем и , а потому

или .

Следовательно, базисное решение , , , , является оптимальными, т. е. задача решена.

2 Имеется свободное неизвестное, коэффициент при котором в выражении для F положителен, а все коэффициенты при этом неизвестном в уравнениях (5.2) – неотрицательны.

Для определенности положим . Исходя из базисного решения, станем наращивать значение , не меняя . Тогда значения базисных неизвестных будут оставаться неотрицательными:

,

а значение будет неограниченно возрастать, т. е. и задача решения не имеет.

Решения ЗЛП редуцируются к одному из случаев 1 или 2 путем перехода к новому базису, в котором целевая функция не уменьшит своего значения для базисного решения, а новая система ограничений должна иметь допустимый вид. Преобразование базиса и перестройку целевой функции и системы ограничений называют шагом в решении ЗЛП. Таким образом, сделав нужное число шагов, решают ЗЛП (5.1) – (5.3).

Применим симплекс-метод к первой задаче, рассмотренной в Лекции 4.

I. Основная задача в примере 1 имеет вид

Сначала приведем ее к каноническому виду, вводя балансовые неизвестные , и :

(5.4)

(5.5)

Теперь приведем (5.4) к допустимому виду – неизвестные , и выразим через и , при этом свободные члены в правых частях полученных уравнений неотрицательны:

(5.6)

Здесь , и – базисные неизвестные, а и – свободные неизвестные.

Шаг 1: положим в (5.6) и , тогда , , . Получим неотрицательное решение системы уравнений (5.6). Его называют базисным решением. Для него .

Шаг 2: положим в (5.6) , а начнем наращивать так, чтобы , и оставались неотрицательными, т. е.

.

Решая эти неравенства, найдем наименьшее значение . Тогда . Объявив и свободными неизвестными, приведем (5.6) к допустимому виду:

(5.7)

Получим неотрицательное решение системы уравнений (5.7). Для него

(5.8)

примет значение .

Сделаем выводы.

Во-первых, значение F по сравнению с 1-ым шагом увеличилось.

Во-вторых, в (5.8) коэффициент при отрицательный и для дальнейшего увеличения значения F надо положить и наращивать .

Шаг 3: положим в (5.7) , а начнем наращивать так, чтобы , и оставались неотрицательными, т. е.

.

Откуда находим наименьшее значение . Тогда . Объявив и свободными неизвестными, приведем (5.7) к допустимому виду:

(5.9)

Получили неотрицательное решение системы уравнений (5.9). Для него

(5.10)

примет значение .

Сделаем выводы.

Во-первых, значение F по сравнению со 2-ым шагом увеличилось.

Во-вторых, в (5.10) оба коэффициента при свободных неизвестных отрицательны и дальнейшее увеличение значения F невозможно:

при . Задача решена. Учитывая экономический смысл неизвестных, приходим к выводу: предприятие получит наибольшую прибыль 1104 единиц при изготовлении 36 единиц товара и 6 единиц товара , при этом остатки ресурсов и равны нулю , а остаток ресурса равен 12 единицам.

Замечание. Просматривая шаги решенной ЗЛП, убеждаемся, что были последовательно перебраны вершины многоугольника решений (см. рис. 4.7 в Лекции 4): шаг 1 – вершина , шаг 2 – вершина , шаг 3 – вершина , которая доставляет максимум целевой функции F.

Если решается ЗЛП, в которой требуется найти минимум целевой функции, то задачу либо сводят к рассмотренной выше задаче с целевой функцией , либо с помощью шагов приводят к одному из двух принципиальных случаев:

1 Все коэффициенты при свободных неизвестных в выражении для F (5.1) неотрицательны: и . Тогда базисное решение является решением задачи.

2 Имеется свободное неизвестное, коэффициент при котором в выражении для F (5.1) отрицателен, а все коэффициенты при этом неизвестном в уравнениях (5.2) – неотрицательны. Тогда задача решения не имеет.

Применим симплекс-метод ко второй задаче, рассмотренной в Лекции 3.

II. Основная задача в примере 2 имеет вид

Сначала приведем ее к каноническому виду, вводя балансовые неизвестные , и :

(5.11)

(5.12)

Приведем ограничения (5.11) к допустимому виду. Как показано выше, в качестве базисных неизвестных следует выбирать такие неизвестные, каждая из которых входит только в одно из уравнений системы ограничений (5.11), при этом нет таких уравнений системы, в которые не входит ни одна из этих неизвестных, и каждая базисная неизвестная имеет тот же знак, что и свободный член.

Нетрудно видеть, что , и не могут быть базисными неизвестными. Действительно,

(5.13)

и знаки , и противоположны знакам свободных членов.

Для выделения базисных неизвестных из системы ограничений (5.11) необходима ее перестройка.

Полагая в (5.13) (или ) найдем из условий неотрицательности , и :

.

наибольшее значение . Тогда и систему (5.13) запишем в виде

(6.14)

Получили систему ограничений, имеющую допустимый вид: , и – базисные неизвестные, и – свободные неизвестные. Перейдем к процедуре шагов.

Шаг 1: положим в (5.14) и , тогда получим базисное решение , для которого целевая функция

(5.15)

примет значение .

В (5.15) коэффициент при положительный и для дальнейшего уменьшения значения f надо положить и наращивать .

Шаг 2: положим в (5.14) , а начнем наращивать так, чтобы , и оставались неотрицательными, т. е.

.

Откуда находим . Тогда . Объявив и свободными неизвестными, приведем (5.14) к допустимому виду:

(5.16)

Из (5.16) получим базисное решение . Для него

(5.17)

примет значение .

В (5.17) коэффициенты при свободных неизвестных положительны и дальнейшее уменьшение значения f невозможно: при . Задача решена.

Учитывая экономический смысл неизвестных, приходим к выводу.

Ежесуточная диета, обеспечивающая необходимое количество питательных веществ, состоит из единиц продукта , единиц продукта и ее минимальная стоимость единиц. При этом потребности организма в питательных веществах A и B отвечают требуемым минимальным объемам единиц и единиц соответственно (т. к. и ), а потребности в питательном веществе С больше требуемого минимального объема единиц на единиц.

В заключение рассмотрим вопрос: всегда ли после конечного числа шагов симплекс-метод закончится либо нахождением оптимального решения, либо установлением того факта, что задача не имеет решения.

Ответ утвердительный и содержится в следующей теореме.

Теорема. Если существует оптимальное решение ЗЛП, то существует и базисное оптимальное решение. Последнее всегда может быть получено с помощью симплекс-метода.