Балансовая модель Леонтьева-Форда

Рассмотрим математическую модель Леонтьева-Форда рационального использования природных ресурсов в процессе промышленного производства. В ее основу положена модель межотраслевого баланса из п. 1 с учетом затрат на ликвидацию загрязнений окружающей среды. Модель описывает распределение материальных потоков, поступающих в экономико-экологическую систему, по разным видам деятельности. Все, что поступает в систему в виде сырья и материалов, либо преобразуется в готовые изделия, либо идет в отходы производства. Условная схема материальных потоков представлена на рис. 2.1.

Рис. 2.1

На этой схеме изображены основные входные потоки: вода, заготовки и материалы, топливо и выходные потоки: сточные воды, твердые отходы, атмосферные загрязнители.

Модель Леонтьева-Форда в матрично-векторной форме записывают следующим образом:

, (2.1)

где – вектор валовых выпусков продукции размерности n;

– вектор объемов загрязнений, подлежащих ликвидации, размерности ;

– вектор конечной продукции размерности n;

– вектор объемов загрязнений, которые в настоящее время не могут быть ликвидированы, размерности ;

– матрица прямых затрат i-го ресурса для производства единицы продукции j-ой отрасли;

– матрица прямых затрат i-го продукта на уничтожение единицы загрязнения вида l;

– матрица коэффициентов, характеризующих количество поступающих в окружающую среду отходов по каждому виду загрязнителей k в расчете на единицу валового выпуска продукции j каждой из отраслей (матрица производственных загрязнений);

– матрица коэффициентов выбора загрязнений k-го вида при уничтожении единицы загрязнения вида l, учитывающая вторичный эффект загрязнений (матрица вторичных загрязнений).

В отличие от балансовой модели ( ), в которой все величины выражены в стоимостной форме, здесь величины измеряются в натуральных единицах (т/сут).

Запишем модель (2.1) в виде

(2.2)

Посредством модели Леонтьева-Форда определяются валовые выпуски продукции отраслей с учетом затрат на ликвидацию загрязнений при условии, что объемы отходов по каждому виду загрязнителей пропорциональны валовым выпускам продукции отраслей, а затраты на ликвидацию загрязнений пропорциональны объемам загрязнений, подлежащим ликвидации.

В системе уравнений (2.2) неизвестными векторами являются вектор валовых выпусков продукции отраслей и вектор подлежащих ликвидации объемов загрязнений . Вектор конечных выпусков продукции отраслей и вектор объемов загрязнений, которые в настоящее время не могут быть ликвидированы, задаются.

Система уравнений (2.2) решается матричным способом. Для простоты изложения рассмотрим случай, когда D – нулевая матрица, т. е. пренебрегаем вторичными загрязнениями, связанными с деятельностью предприятия, ликвидирующего загрязнения.

Тогда система уравнений (2.2) примет вид:

(2.3)

Подставив второе уравнение системы в первое, получим

где Е – единичная матрица.

Примем обозначения для следующих матриц:

; ; ; ,

благодаря которым решение системы уравнений (2.3) запишем в виде:

(2.4)

Модель (2.2) описывает сложные хозяйственные взаимосвязи. Действительно, сокращение объемов неликвидируемых загрязнений приводит к росту объемов загрязнений, подлежащих ликвидации . В свою очередь, рост объемов вызовет рост расходов на ликвидацию загрязнений и, следовательно, приведет к росту валовых выпусков продукции отраслей , что вызовет увеличение объемов загрязнений .

Таким образом, использование модели Леонтьева-Форда позволяет получить информацию относительно отраслевой структуры затрат на охрану окружающей среды, влияния их на величину конечного или общего выпуска, изменения цен в зависимости от предлагаемого уровня загрязнения среды.

Пример 1. Задана матрица прямых затрат на производство продукции двумя предприятиями региона:

.

Производство продукции сопровождается загрязнением окружающей среды, которое количественно характеризуется матрицей производственных загрязнений:

.

Предприятия проводят мероприятия по уничтожению загрязнений, описываемые матрицей прямых затрат предприятий по уничтожению единицы загрязнения:

.

Определить валовой выпуск продукции предприятий и объем загрязнений, подлежащих ликвидации , если потребности региона в конечной продукции предприятий описывается вектором , а объем загрязнений, которые в настоящий момент не могут быть уничтожены, характеризуются вектором .

Решение.

Искомые величины найдем по формулам (2.4). Предварительно вычислим следующие матрицы:

;

;

;

;

По формулам (2.4) имеем:

Таким образом, объем выпуска первого предприятия 15258 т продукции, второго – 15605 т продукции. При этих объемах выпуска продукции объемы ликвидируемых загрязнений у первого предприятия – 6107 т, у второго – 5976 т.