Глава I. Балансовые модели балансовые модели. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Продуктивные модели
В экономике существует баланс между отдельными отраслями. Рассмотрим простой вариант модели межотраслевого баланса – модель «затраты-выпуск».
Пусть имеется n различных отраслей, каждая из которых производит свой продукт и нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Введем следующие обозначения:
‑
общий
объем продукции отрасли i
за
плановый год ‑ так называемый валовой
выпуск отрасли
i;
‑
объем
продукции отрасли i,
расходуемый
отраслью j
в
процессе производства;
‑ объем
продукции отрасли i,
предназначенный
к потреблению в непроизводственной
сфере ‑ объем конечного
потребления. В
него входят создаваемые в хозяйстве
запасы, личное потребление граждан,
обеспечение общественных потребностей
(просвещение, наука, здравоохранение,
развитие инфраструктуры и т. д.),
поставки на экспорт.
Указанные величины сведем в таблицу 1.1.
Таблица 1.1
Производственное потребление |
Конечное потребление |
Валовой выпуск |
|
|
|
Балансовый
характер этой таблицы выражается в том,
что при любом
выполняется соотношение
, (1.1)
означающее,
что валовой
выпуск
расходуется на производственное
потребление, равное
,
и непроизводственное потребление,
равное
.
Соотношения (1.1) называют соотношениями
баланса.
Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т. п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы. В дальнейшем будем иметь в виду стоимостной баланс.
В.
Леонтьев обратил внимание на важное
обстоятельство: величины
остаются
постоянными в течение ряда лет, что
объясняется примерным постоянством
используемой технологии производства.
Сделаем
следующее допущение: для выпуска любого
объема
продукции отрасли j
необходимо затратить продукцию отрасли
i
в
количестве
,
т. е. материальные издержки
пропорциональны объему производимой
продукции:
. (1.2)
Коэффициенты
называют коэффициентами
прямых материальных затрат или
коэффициентами
материалоемкости.
Они показывают сколько необходимо
единиц продукции отрасли i
для производства единицы продукции
отрасли j,
если учитывать только прямые затраты.
Подставив (1.2) в балансовое соотношения (1.1), получим
или, в матричной записи,
, (1.3)
где
Вектор
называется вектором
валового выпуска, вектор
‑ вектором
конечного потребления, а
матрица А
‑ матрицей прямых затрат. Соотношение
(1.3) называется уравнением
линейного межотраслевого баланса.
Вместе
с изложенной интерпретацией матрицы А
и
векторов
и
это соотношение называют также моделью
Леонтьева.
Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для плановых расчетов:
задавая для каждой отрасли i валовой выпуск продукции
можно определить объемы конечного
потребления каждой отрасли
:
,
где Е – единичная матрица;
задавая величины конечного потребления каждой отрасли можно определить величины валового выпуска продукции :
,
где
– матрица, обратная к матрице
,
ее элементы называют коэффициентами
полных материальных затрат.
Отметим
особенности системы (1.3):
все
компоненты матрицы А,
а также
векторов
и
неотрицательны (это вытекает из
экономического смысла А,
и
).
Для
краткости будем записывать это так:
.
Таким образом, плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять при соблюдении следующего условия продуктивности:
матрица
называется продуктивной, если для любого
вектора
существует решение
уравнения (1.3).
В этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной.
Сформулируем критерии продуктивности матрицы .
Критерий I. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна.
Критерий
II.
Матрица
продуктивна тогда и только тогда, когда
имеет место разложение матрицы
в матричный ряд
. (1.4)
В
соотношении (1.4) матрицы
называются матрицами
коэффициентов косвенных затрат
2-го, 3-го и т. д. порядков. Их сумма
образует матрицу
коэффициентов косвенных затрат
. (1.5)
Суть косвенных затрат поясним на примере производства двигателей. На их изготовление в виде прямых затрат расходуется сталь, чугун и т. д. Но для производства стали также нужен чугун. Следовательно, производство двигателей включает как прямые, так и косвенные затраты чугуна.
Таким образом, из соотношений (1.4) и (1.5) имеем
, (1.6)
т. е. матрица коэффициентов полных материальных затрат включает в себя матрицы коэффициентов прямых и косвенных затрат.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Исследовать на продуктивность матрицу
Решение.
Сначала найдем матрицу
:
Затем найдем . С этой целью по известным из линейной алгебры правилам вычислим определитель
алгебраические дополнения для элементов матрицы
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
.
Тогда
.
Полученная матрица неотрицательна и по Критерию I исходная матрица А продуктивная.
Пример 2. Для матрицы А коэффициентов прямых затрат из примера 1 и вектора конечного потребления
найти: а) вектор валового выпуска; б) матрицу косвенных затрат; в) изменение вектора валового выпуска при увеличении вектора конечного потребления на величину
Решение.
а) Вектор
валового выпуска
вычислим по формуле
.
Имеем
б) Матрицу косвенных затрат В найдем из соотношения (1.6):
в)
.
Таким
образом, при увеличении вектора конечного
потребления на
вектор валового выпуска увеличится на
.