Редукция матричных игр к задачам линейного программирования
Пусть
игра
задана платежной матрицей
,
.
Через
и
обозначим соответственно оптимальные
стратегии игроков А
и В.
Пусть
– цена игры. Не умаляя общности, полагаем
.
В противном случае с помощью аффинного
правила добьемся того, что все
.
Оптимальная стратегия стратегия игрока А обеспечивает ему средний выигрыш, не меньший , при любой стратегии игрока В. Поэтому все средние выигрыши игрока А можно выписать в виде системы неравенств:
(13.1)
Введем новые переменные:
(13.2)
Тогда после деления каждого неравенства из (13.1) на получим новую систему неравенств
(13.3)
Из равенства
нетрудно
получить соотношение для
:
.
Игрок
А
стремится
максимизировать свой гарантированный
выигрыш
.
Максимизация
равносильна минимизации
.
Следовательно, получили следующую
задачу для нахождения оптимальной
стратегии игрока А:
(13.4)
при условиях (13.3) и
(13.5)
Сформулированная задача (13.3) – (13.5) является ЗЛП.
Повторим с естественными изменениями предыдущие рассуждения для определения оптимальной стратегии игрока В.
Игрок В стремиться минимизировать гарантированный проигрыш . Все средние проигрыши игрока В запишем в виде системы неравенств:
, (13.6)
которые следуют из того, что средний проигрыш игрока В не превосходит цены игры при любой стратегии игрока А.
В обозначениях
система неравенств (13.6) примет вид
(13.7)
Применение
удовлетворяют соотношению
.
Минимизация равносильна максимизации .
Получили следующую задачу для нахождения оптимальной стратегии игрока В:
(13.8)
при условиях (13.7) и
(13.9)
Задача (13.7) – (13.9) также является ЗЛП.
Таким образом, игра свелась к двум ЗЛП, которые запишем в матричном виде
,
,
,
Очевидно, задачи I и II являются двойственными ЗЛП.
Задача. Предприятие выпускает три вида продукции, получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из четырех состояний. Данные представлены таблицей
Таблица 13.1
Спрос Продукция |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
5 |
4 |
3 |
|
4 |
4 |
3 |
3 |
Найти оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.
Решение. Задача сводится к игровой модели, в которой игрок А – предприятие, имеющее три стратегии: , и ; игрок В – спрос, имеющий четыре стратегии: , , и ; платежная матрица – заданная таблица.
Выполним анализ игры:
Седловой
точки нет:
,
.
Игра в смешанных стратегиях.
Составим взаимнодвойственные ЗЛП:
Решим задачу (II) симплекс-методом
Таблица 13.2
Базисные неизвестные |
Свободные члены |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
5 |
4 |
3 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
4 |
4 |
3 |
3 |
0 |
0 |
1 |
f |
0 |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|
1 |
f |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
f |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
Из итоговой симплекс-таблицы находим решение задачи (II):
,
,
,
,
,
,
,
.
Перейдем к решению задачи (I).
По первой теореме двойственности
По второй теореме двойственности справедливо соответствие между переменными задач (I) и (II):
,
где
– балансовые переменные задачи (I),
и из строки f
итоговой симплекс-таблицы находим
,
,
,
,
,
,
.
Возвращаясь к исходной игре, имеем
,
,
.
Ответ:
оптимальные пропорции выпускаемой
предприятием продукции составляют по
50 % продукции
и
,
гарантирующие 4 ед. прибыли при оптимальном
спросе
% в состоянии
и
% в состоянии
.