Методы решения матричных игр в смешанных стратегиях
В этой лекции рассматриваются матричные игры, не имеющие седловых точек.
– игры
Рассмотрим игру с платежной матрицей
.
Пусть
игрок A
применяет набор своих оптимальных
стратегий
.
По основной теореме теории игр это
обеспечивает ему выигрыш
при любых стратегиях игрока В,
т. е. выполняются соотношения:
(12.1)
Дополняя их уравнением
(12.2)
получим
систему линейных уравнений относительно
и
.
Решая ее найдем
,
,
, (12.3)
где
.
Повторяя те же рассуждения для игрока В, получим систему линейных уравнений
(12.4)
Ее решениями будут
,
,
, (12.5)
Пример. Молокозовод поставляет в магазин молочную продукцию ( ) и кисломолочную продукцию ( ). Согласно договора между ними продукция поступает в магазин два раза в день: с 10.00 до 11.00 (1-ый срок) и с 17.00 до 18.00 (2-ой срок). Если молокозавод соблюдает сроки поставок, то магазин выплачивает премии по следующей схеме: при поставке продукции в первый срок выплачивает 5 тыс. руб., во второй срок – 3 тыс. руб.; при поставке продукции в первый срок выплачивает 2 тыс. руб., во второй срок – 3 тыс. руб. Определить оптимальные стратегии поставок и получения продукции.
Решение. Примем молокозавод за игрока А, а магазин – за игрока В. Составим платежную матрицу игры:
Таблица 12.1
Сроки Продукция |
1-ый срок |
2-ой срок |
|
5 |
1 |
|
2 |
3 |
или
.
Найдем
,
,
, седловой точки нет. Применим формулы (12.3) – (12.5) для определения оптимальных стратегий и цены игры:
,
,
,
,
,
,
Оптимальные
стратегии:
,
,
цена игры
.
Таким
образом, молокозавод поставляет молочную
продукцию с вероятностью
,
а кисломолочную продукцию – с вероятностью
,
а магазин получает продукцию в 1-ый срок
с вероятностью
,
а во 2-ой срок – с вероятностью
и выплачивает 2,6 тыс. руб. премии
молокозаводу ежедневно.
Матричная игра допускает простую геометрическую интерпретацию.
По
Теореме 2 из Лекции 11 нахождение цены
игры
и оптимальной стратегии
для игрока А
равносильно решению уравнения:
(12.6)
Для нахождения правой части (12.6) применим графический метод.
Пусть
игрок А
выбрал смешанную стратегию
,
,
а игрок В
– k-ую
чистую стратегию,
.
Тогда средний выигрыш игрока А
окажется равным
при
стратегии
(12.7)
при
стратегии
(12.8)
На плоскости pOz уравнения (12.7) и (12.8) описывают прямые I и II, изображенные на рис. 12.1
Рис. 12.1
Очевидно,
,
которую называют нижней огибающей
прямых I
и II.
Нетрудно видеть, что
(см. рис.
12.1)
Таким
образом, верхняя точка нижней огибающей
–
определяет оптимальную стратегию игрока
А:
и цену игры
.
Проиллюстрируем описанный графичексий метод на рассмотренной выше игре с платежной матрицей .
На
плоскости pOz
построим две прямые, описываемые
уравнениями:
и
или
(I)
и
(II).
Рис. 12.2
Решая систему уравнений
найдем
,
,
.
Таким
образом, имеем полученный выше ответ
игры:
и
.
Теперь покажем как графическим методом найти стратегии игрока В.
Вновь по Теореме 2 из Лекции 11 имеем
(12.9)
Пусть
игрок В
выбрал смешанную стратегию
,
,
а игрок А
– i-ую
чистую стратегию,
.
Тогда средний выигрыш игрока В
окажется равным
при
стратегии
(12.10)
при
стратегии
(12.11)
На плоскости qOz уравнения (12.10) и (12.11) описывают прямые III и IV, изображенные на рис. 12.3
Рис. 12.3
Очевидно,
,
которую называют верхней огибающей
прямых III
и IV.
Нетрудно видеть, что
(см. рис.
12.3)
Таким
образом, нижняя точка верхней огибающей
–
определяет оптимальную стратегию игрока
В:
и цену игры
.
Для рассмотренной выше гры с матрицей H найдем стратегии игрока В.
На
плоскости qOz
построим две прямые, описываемые
уравнениями:
и
или
(III)
и
(IV).
Рис. 12.4
Решая систему уравнений
найдем
,
,
.
Таким образом, имеем и .
Замечание. На практике оптимальную стратегию игрока В, если оптимальная стратегия игрока А, следовательно, и цена игры известны, находят приравниванием любого из двух средних выйгрышей игрока В к цене игры:
или
.
Для рассмотренного примера такими уравнениями будут
или
Аналогично находят оптимальную стратегию игрока А, если известна оптимальная стратегия игрока В.
и
– игры
Решают такие игры графическим способом, описанным выше. Отличие от – игр заключается в следующем.
Нижняя (верхняя) огибающая семейства прямых
содержит большее число отрезков.
Пусть в игре в верхней точке нижней огибающей пересекаются прямые
и
.
Тогда при нахождении оптимальной
смешанной стратегии игрока В
согласно Теореме 2 полагают, что
,
,
,
,
где q
– решение уравнения
или
.
Пусть в игре в нижней точке верхней огибающей пересекаются прямые
и
.
Тогда при нахождении оптимальной
смешанной стратегии игрока А
согласно Теореме 2 полагают, что
,
,
,
,
где p
– решение уравнения
или
.
– игры
При решении таких игр рекомендуется предварительно уменьшить размеры платежной матрицы или упростить ее в некотором смысле. С этой целью применяют следующие правила.
Правило доминировнаия.
Из платежной матрицы исключают чистые стратегии заведомо невыгодные по сравнению с другими:
а) для игрока А такими стратегиями являются те, которым соответствуют строки с элементами не большими по сравнению с элементами других строк;
б) для игрока В такими стратегиями являются те, которым соответствуют столбцы с элементами не меньшими по сравнению с элементами других столбцов.
Например, рассмотрим игру с матрицей
Сравнивая строки, убеждаемся, что элементы 2-ой строки не больше соответствующих элементов 1-ой строки, а 3-ья строка совпадает с 4-ой. Следовательно, стратегии и невыгодные и могут быть отброшены. Матрица игры преобразуется к матрице
.
Сравнивая столбцы полученной матрицы, убеждаемся, что элементы 2-го столбца не меньше соответствующих элементов 1-го столбца, а элементы 3-го столбца не меньше соответствующих элементов 4-го столбца, т. е. стратегии и также могут быть отброшены. Окончательно усеченная матрица игры имеет вид
.
Таким
образом, оптимальными стратегиями
игроков А
и В
игры с матрицей Н
будут
и
,
где
и
– оптимальные стратегии игры с матрицей
.
Аффинное правило.
Пусть
и
– оптимальные смешанные стратегии
игроков А
и В
в игре с платежной матрицей
и
ценой
.
Тогда
и
будут оптимальными стратегиями и в игре
с матрицей
и ценой
.
Например,
игру с матрицей
можно заменить игрой с матрицей
,
т. к. элементы этих матриц связаны
соотношениями
:
;
;
;
;
;
.
При этом оптимальные стратегии игр
совпадают, а цены игр связаны соотношением
.
В общем случае решение игр размера в смешанных стратегиях сводят к решению двух возможно двойственных ЗЛП. Изучению этого вопроса посвящена следующая лекция.